湖南省衡阳县第四中学2015届高三12月月考数学(理)试题

湖南省衡阳县第四中学2015届高三12月月考数学

（理）试题)

时量：120分钟 满分：150分

一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合},]2,0[,2{},11{∈==<-=x y y B x x A x 则=?B A （ ） A ． [0,1] B ．(1,2) C ． [1,2) D ． (1,3) 2. “x <-1”是“x 2

-1>0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要

3. 已知i 为虚数单位,则复数z=21i i

-+的共轭复数在复平面上所对应的点在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4. 执行程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )

A ．120

B ．720

C ．1440

D ．5040 5. 函数32()ln 2

x f x x

=-的零点一定位于区间（ ）

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．()3,4

D ．()4,5 6. 由曲线y =x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )

A.

310 B ．4 C. 3

16

D ．6 7．若二项式

的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ）

.A 2 .

B 21 .

C 2 .

D 2

2

8. 函数

()sin()f x A x ω?=+（其中A ＞0，2

||π

?<

）的图象

如图所示，为了得到g (x )=sin2x 的图象，则只需将

()

f x 的图象（ ）

A ．向右平移6π个长度单位

B ．向右平移3π个长度单位

C ．向左平移6

π个长度单位 D ．向左平移3

π个长度单位 9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A ．3

14

B ．4

C ．

3

10

D ． 3 10. 设实数x ，y 满足条件???

??≥≥≥+-≤--0,00820104y x y x y x ,

若目标

12，则

2

a

函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为＋3

b

的最小值为( )

A ．4

B ．83

C ．113

D ．25

6

二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分 11 . 函数2ln y x x =-的极值点为______

12. 向量1(,tan )3

a α=，(cos ,1)

b α=，且a ∥b ，则cos 2α

=______

13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, ,

840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 14、从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114

,则

n =________.

15. 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x

∈[0,1]时f (x )＝x -1)2

1

(，则

①：2是函数f (x )的周期； ②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝3)2

1

(-x

其中所有正确命题的序号是________

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、（本小题满分12分） 已知函数b a b

ax x x f 、()(2

+=为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4

（1） 求函数)(x f 的解析式

（2） 设1>k ，解关于x 的不等式：x

k

x k x f --+<

2)1()(

17.（本小题满分12分）设函数)0(12

cos 2)6

sin()(2

>+--

=ωω

π

ωx x x f 直线3=y 与函数

)(x f 图像相邻两交点的距离为π.

（Ⅰ）求ω的值

（II ）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点)0,2

(B

是函数)(x f y =图像

的一个对称中心，且3b =,求ABC ?面积的最大值. 18、（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲

的中奖率为23

,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25

,中将可以得3分;未中奖则不得分.

每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X

≤的概

率;

(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?

19．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面

ABCD ， PD DC =，E 是PC 的中点． （I ）证明：PA //平面BDE ；

（II ）求二面角B DE C --的平面角的余弦值；

20．（本小题满分13分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,13

12cos =A ,5

3cos =C .

(1)求索道AB 的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

21. （本小题满分13分）已知函数21()ln 2

f x x a x =+。 （1）若1a =-，求函数

()

f x 的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若1a =，求证：在区间[1,)+∞上，函数()

f x 的图像在函数32()3

g x x =

的图像的下方

参考答案

一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 C A A B A C B A B D

二、

11：

2

2

. 12:97. 13: 12. 14: 8. 15: ①②④

C

B

A

16、解：（1）因为方程0122=+-+x b ax x 有两根3和4，所以???????=++=++0

84160939

b

a b

a 2分

得 ?

?

?=-=21

b a

所以x x x f -=2)(2 4分

（2）即x

k

x k x x --+<-2)1(22整理得：0))(1)(2(>---k x x x 6分 ①、21<<<

③、2>k 时，不等式的解集}21|{k x x x ><<或 12分

17、

18、【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25

,两人中奖与否互不影响,记“这2

人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,

224(5)3515==

?=P X ,11()1(5)15

∴=-==P A P X

∴这两人的累计得分3≤X

的概率为

1115

.

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X

由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5X B

124()233∴=?

=E X ,224()255

=?=E X 118(2)2()3∴==

E X E X ,2212(3)3()5

==E X E X

12(2)(3)>E X E X

∴ 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.

19.解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角

坐标系，

设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B

)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA

设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，

则由 1100

n DE n DB ??=???=??，得0220y z x y +=??+=? 取1y =-，得1(1,1,1)n =-．

∵1220PA n ?=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥?∴，又平面平面

（II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量．

设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<> ∴12121223

cos cos ,3||||32

n n n n n n θ?=<>=

==??． 故二面角B DE C --的余弦值为3

3

．

法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ?中，OE 为中位线，∴OE //PA

PA BDE ?又平面,∴PA //平面BDE ．………………4分 （II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,BC ⊥CD ∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC ∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角． 设PD DC a ==，在Rt BCE ?中,263

,,,cos 223

CE a BC a BE a BEC =

==∴∠=