广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版)

密★启用前 试卷类型:A

2019年广州市普通高中毕业班综台测试（一）

理科数学

2019.3

本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事顶：1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ），填涂在答题相应置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{

}2

20A x x x =-<，{

}

2x

B x =>1，则 A.A

B =? B.A B R = C.B A ? D.A B ?

答案：D

考点：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。

解析：{}

02A x x =<<，{}

0B x x =>，所以，D 正确。 2. 已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为实数，则a = A.2- B.

12 C.－1

2

D.2 答案：B

考点：复数的概念与运算。

解析：()()12a i i +-＝2(12)a a i ++-为实数，所以，12

a =

3. 已知双曲线22

2:1y C x b

-=的一条渐近线过圆()()22

:241P x y -++=的圆心，则C 的离心率为

B.32 5 D.3

答案：C

考点：双曲线的性质。

所以，c 4..刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内段放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(,,a b N b a *∈<)，则圆周率的近似值为

A.

b a B.a b C.3a b D.3b

a

答案：C

考点：几何概型。

解析：正十二边形的面积为：12×

1

22sin 302

????=12， 124b a π=，3a b

π=，选C 。 5.若等边三角形ABC 的边长为1，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB =

B.2

C.23

D.3 答案：D

考点：平面向量的三角形法则。

解析：MA MB =()MD DA DC +＝()2BC AC AC +?＝2

22AC BC AC ?+ ＝211cos 602????+＝3

6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2

111m m m a a a -+-+=，2111m S -=，则m =

A.11

B.10

C.6

D.5 答案：C

解析：由2111m S -=得：

121(21)()112m m a a --+=，即(21)11m m a -=，即11

21

m a m =-

由2

111m m m a a a -+-+=，得21m m m a d a a d --++=，即221m m a a -=， 即2210m m a a -+=，解得：1m a =，所以，11

121

m =

-，解得：m ＝6

7.如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T 。若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是

答案：B

考点：变化率。

解析：水匀速流出，当水面在球心附过时，下降的高度比较缓慢，快流完时，下降的速度最快，图象越陡，所以，选B 。 8. (

)()5

3

2x

x a -+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4

x

的系数是

A.5

B.10

C.15

D.20 答案：A

考点：二项式定理。

解析：依题意，令x ＝1，得：5

(1)a +＝32，所以，1a =，

展开式中4

x 的系数为：1434

552C x x C x -＝5

9.已知函数()()cos f x x ω?=+()0,0ω?π>≤≤是奇函数，且在,43ππ??

-

????

上单调递减，则ω的最大值是

A.

12 B.23 C.3

2

D.2 答案：C

考点：函数的奇偶性，正弦函数的图象及其性质。 解析：依题意，知()sin f x x ω=-，由222

2

k x k π

π

πωπ-

+≤≤

+，

即当

4422k k x ππππωω-++≤≤时，函数f （x ）递减，又在,43ππ??

-????

上单调递减

所以，424

423k k ππ

πωπππω

-+?≤-???+?≥??，即：283

62k k ωω≤-???≤+??学科网，k Z ∈； （1）当k ＝0时，3

2

ω≤

； （2）当k ＞0时，28k ω≤-，为负数；

（3）当k ＜0时，3

62k ω≤+，也是负数，

所以，ω的最大值是3

2

。

10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为 A.

132π B.7π C.152

π

D.8π

答案：B

考点：三视图，表面积的计算。

解析：由三视图可知，该几何体是一个圆柱+四分之一球组成。 表面积为：2

1π?＋21212π?

??＋221π??＋21

414

π???＝7π 11.已知以F 为焦点的抛物线2

:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ??

=≤≤ ???

，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是 A.2 B.

83 C.10

3

D.4 答案：B

考点：抛物线的定义与性质，平面向量的意义，函数导数及其应用。 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），依题，得F （1,0），准线x ＝－1， AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，又AF FB λ=，所以，x 1＋1＝λ（x 2＋1）， 设直线AB 斜率存在为k ，则直线AB 为：y ＝k （x －1），

24(1)

y x y k x ?=?=-?，得：222

(24)0k x k x k -++=，所以，x 1?x 2＝1，即1

2

1x x =， 所以，

2

1

x ＋1＝λ（x 2＋1），化简，得：21x λ=，

弦AB 的中点到C 的准线的距离为：

11(||||)(||||)22AF BF BF BF λ+=+＝1

(1)||2

BF λ+ ＝2111

(1)(1)(1)(1)22x λλλ++=++ ＝11

(2)2λλ++， 令1()f λλλ=+，则21

'()1f λλ

=-＝0，得：1λ=，

所以，当λ在（

1

3

，1）时，'()f λ＜0，()f λ递减， 当λ在（1，3）时，'()f λ＞0，()f λ递增，

()f λ的最大值为：1(3)()3f f =＝10

3

，

弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是：

1108

(2)233

+=，选B 。

12.已知函数()()21

, 1ln , 1x x f x x x a x ?+>?

=??+≤?

的图象上存在关于直线1x =对称的不同两点，则实数a 的取值范围是

A.()21,e -+∞

B.()21,e ++∞

C.()2,1e -∞-

D.()

2

,1e -∞+

答案：A

考点：分段函数的图象，数形结合法。 解析：当x ＞1时，()1

f x x x

=+

，画出它的图象，并作它关于直线x ＝1对称的图象， 再画出当x ＜1时，()ln()f x x a =+的图象，如下图所示：

图象上存在关于直线1x =对称的不同两点，等于于函数()ln()f x x a =+与，()1

f x x x

=+关于直线x ＝1对称的图象有交点，

所以，只需f （1）＝ln(1)a +＞2，解得：2

1a e >- 选A 。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若33S =，627S =，则1a = 。 答案：

37

考点：等比数列的前n 项和公式。

解析：依题意，得：3136

16(1)3

1(1)27

1a q S q a q S q ?-==?-?

?-?==?-?

，即3613127q q -=-，即：31119q =+， 解得：2q =，所以，

31(12)

312

a -=-，解得：1a =37 14.若函数()3

f x ax x

=-

的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,4，则a = 。 答案：2

考点：函数的导数及其应用。

解析：(1)3f a =-，切点为（1，3a -），

2

3

'()f x a x =+

，切线的斜率为：k ＝3a +， 切线方程为：3(3)(1)y a a x -+=+-，过眯（2，4）， 所以，43(3)(21)a a -+=+-，解得：a =2

15.已知关于x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥??

+≤??+≥?

，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足

0022x y -=，则m 的取值范围是 。

答案：4(,]3

-∞

考点：不等式组的解法及其意义。

解析：由0022x y -=得：0022x y =+，所以，不等式组为：0000

441022020y y y m y +-+≥??

++≤??+≥?，

即0

0053

222y m y y ?≥-??

--?

≤??

≥-???

，即05232m y ---≤≤，所以，5232m ---≤，解得：43m ≤。

16.已知直四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都是1，∠ABC ＝60°，AC

BD O =，11111AC B D O =，

点H 在线段1OB 上，13OH HB =，点

M 是线段BD 上的动点，则三棱锥11M C O H -的体积的最小值为 。 答案

考点：四棱柱的结构特征，三棱锥的体积计算。

解析：三棱锥11M C O H -中，三角形C 1O 1H 的面积为定值，所以，线段BD 上的点到平面C 1O 1H 距离最小时，三棱锥11M C O H -的体积最小，

由图可知，当点M 在点B 处时，M 到平面C 1O 1H 距离最小，

依题知，四边形BOO 1B 1为矩形，设O1B 交OB 1于E ，则点E 为OB 1的中点， 由OH ＝3HB 1知，H 为EB 1的中点，所以，三棱锥11M C O H -的体积最小值为：

所以，三棱锥11M C O H -

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.(12分)

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 3cos c B a b C =-。 （1）求sin C 的值；

（2）若26c =2b a -=，求△ABC 的面积。

18.(12分)

如图，在三棱锥A BCD -中，△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90°，点P 是 AC 的中点，连接BP ，DP 。

（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ；

（2）若BD 6且二面角A BD C --为120°，求直线AD 与平面BCD

所成角的正弦值。

19.(12分)

某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ 2 3 4

P0.4 a b

其中0

(1)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率；

(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元。商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位:元)

（1）求X的分布列；

（2）若P(X≤500)≥0.8,求X的数学期望EX的最大值。

20.(12分)

已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的两个焦点和两个顶点在图22:1O x y +=上。

（1）求椭圆C 的方程

（2）若点F 是C 的左焦点,过点P (m ,0)(m ≥1)作圆O 的切线l ，l 交C 于A ，B 两点。求△ABF 的面积的最大值。

21.(12分)

已知函数()22x

f x e

ax =-，a R ∈。

（1）若()f x 在(0,+∞)上单调递增,求a 的取值范围； （2）若()f x 在(0,+∞)上存在极大值M ,证明：4

a M <。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2

cos sin x t

y t =??=?

(t 为参数)。以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()1

sin cos 2

a ρθθ-=()a R ∈。 （1）写出曲线1C 的普通方程和直线2C 的直角坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 有两个不同交点，求a 的取值范围。

23.[选修4-5：不等式选讲](10分) 已知函数()21f x x a x =+--。

（1）当a =1时，求不等式()0f x >的解集；

（2）若a >0，不等式()1f x <对x R ∈都成立，求a 的取值范围。