2016年山西省中考数学真题含答案解析

山西省2016年高中阶段教育学校招生统一考试

数 学

本试卷满分120分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共30分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的) 1.16

-的相反数是

( )

A .16

B .6-

C .6

D .16

- 2.不等式组50,

26

x x +???＞＜的解集是

( )

A .5x -＞

B .3x ＜

C .53x -＜＜

D .5x ＜ 3.以下问题不适合全面调查的是

( )

A .调查某班学生每周课前预习的时间

B .调查某中学在职教师的身体健康状况

C .调查全国中小学生课外阅读情况

D .调查某校篮球队员的身高

4.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数,则该几何体的左视图是

( )

A

B

C D

5.我国计划在2020年左右发射火星探测卫星.据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为

( ) A .65.510?千米 B .75.510?千米 C .65510?千米 D .80.5510?千米

6.下列运算正确的是

( )

A .239()2

4-=-

B .236(3)9a a =

C .351

5525

--÷=

D .85032-=-

7.甲、乙两个搬运工搬运某种货物,已知乙比甲每小时多搬运600 kg ,甲搬运

5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用时间相等,求甲、乙两人每小时分别搬

运多少kg 货物.设甲每小时搬运kg x 货物,则可列方程为

( )

A .50008000

600x x =

- B .

50008000

600x x =

+ C .50008000600x x

=

+

D .50008000600

x x =

- 8.将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的函数表达式为

( )

A .2(1)13y x =+-

B .2(5)3y x =--

C .2(5)13y x =--

D .2(1)3y x =+-

9.如图,在□ABCD 中,AB 为O e 的直径,O e 与DC 相切于点

E ,与AD 相交于点

F ,已知12AB =,60C ∠=o ,则?FE

的长为

( ) A .

π

3

B .

π2

C .π

D .2π

10.宽与长的比是

51

-(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ,分别取AD ,BC 的中点,,E F 连接EF ；以点F 为圆心,以FD 为半径画弧,交BC 的延长线与点G ；作GH AD ⊥,交AD 的延长线于点H .则图中下列矩形是黄金矩形的是

( )

A .矩形ABFE

B .矩形EFCD

C .矩形EFGH

D .矩形DCGH

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填写在题中的横线上)

11.如图是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线路部分规划示意图.若建立适当的平面直角坐标系,表示双塔西街点的坐标为(0,)1-,表示桃园路的点的坐标为

()1,0-,则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是 .

12.已知点1(1,)m y -,2(3,)m y -是反比例函数(0)m

y m x

=

＜图象上的两点,则1y 2y (填“＞”或“=”或“＜”).

13.如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示).

第1个 第2个 第3个

14.如图是一个能自由转动的正六边形转盘,这个转盘被三条分割线分成形状相同,面积相等的三部分,且分别标有“1”“2”“3”三个数字,指针的位置固定不动.让转盘自由转动两次,当每次转盘停止后,记录指针指向的数(当指针指向分割线时,视其指向分割线左边的区域),则两次指针指向的数都是奇数的概率为 . 15.如图,已知点C 为线段AB 的中点,CD AB ⊥且4CD AB ==,连接AD ,BE AB ⊥,AE 是DAB ∠的平分线,与DC 相交于点F ,

EH DC ⊥于点G ,交AD 于点H ,则HG 的长为 .

三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分10分,每题5分) (1)计算：2101(3)()82(2)5

----?+-；

(2)先化简,

再求值：222211

x x x

x x --

-+,其中2x =-.

17.(本小题满分7分) 解方程：222(3)9x x -=-.

18.(本小题满分8分)

每年5月的第二周为“职业教育活动周”,2016年山西省展开了以“弘扬工匠精神,打造技能强国”为主题的系列活动,活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动,相关职业技术人员进行了现场演示,活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计,绘制了统计图(均不完整).

请解答以下问题：

(1)补全条形统计图和扇形统计图；

(2)若该校共有1800名学生,请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？

(3)要从这些被调查的学生中,随机抽取一人进行访谈,那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 .

________________ _____________

19.(本小题满分7分)

阿基米德折弦定理

阿基米德(Archimedes,公元前287～公元212年,古希

腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为

三大数学王子.

阿拉伯Al Biruni

-(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al Biruni

-译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.

阿基米德折弦定理：如图1,AB和BC是O

e的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC AB

＞,M是?

ABC的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD AB BD

=+.

下面是运用“截长法”证明CD AB BD

=+的部分证明过程.

证明：如图2,在CB上截取CG AB

MA MB MC和MG.∵M是

=,连接,,

?

=.

ABC的中点,∴MA MC

……

任务：(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分；

(2)填空：如图(3),已知等边△ABC内接于O

e,AB= 2,D为?AC上一点,∠=o,AE BD

45

ABD

⊥与点E,则△BDC的周长是.

20.(本小题满分7分)

山西省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在

2000kg~5000kg (含2000kg 和5000kg )的客户有两种销售方案(客户只能选择

其中一种方案)：

方案A ：每千克5.8元,由基地免费送货. 方案B ：每千克5元,客户需支付运费2000元.

(1)请分别写出按方案A ,方案B 购买这种苹果的应付款y (元)与购买量x (kg )之间的函数表达式；

(2)求购买量x 在什么范围时,选用方案A 比方案B 付款少；

(3)某水果批发商计划用20000元,选用这两种方案中的一种,购买尽可能多的这种苹果,请直接写出他应选择哪种方案.

21.(本小题满分10分)

太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同,均为300 cm ,AB 的倾斜角为30o ,50cm BE CA ==,支撑角钢,CD EF 与底座地基台面接触点分别为,,D F CD 垂直于地面,FE AB ⊥于点E .两个底座地基高度相同(即点,D F 到地面的垂直距离相同),均为30 cm ,点A 到地面的垂直距离为50 cm ,求支撑角钢CD 和EF 的长度

各是多少cm (结果保留根号).

22.(本小题满分12分) 综合与实践 问题情境

在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片ABCD (90BAD ∠o ＞)沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和

△ACD .

图1

图2

图3

图4

操作发现

(1)将图1中的△ACD 以A 为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使BAC α=∠,得到如图2所示的△'AC D ,分别延长BC 和C D '交于点E ,则四边形C ACE '的形状是 ；

(2)创新小组将图1中的△ACD 以A 为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使

2BAC α=∠,得到如图3所示的△'AC D ,连接DB ,C C ',得到四边形D C BC ',发现

它是矩形.请你证明这个结论； 实践探究

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中13cm BC =,10cm AC =,然后提出一个问题：将△'AC D 沿着射线DB 方向平移cm a ,得到△''''A C D ,连接

D B ',C C '',使四边形D C BC '''恰好为正方形,求a 的值.请你解答此问题；

(4)请你参照以上操作,将图1中的△ACD 在同一平面内进行一次平移,得到

△'''A C D ,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,

写出你发现的结论,不必证明.

23.(本小题满分14分) 探究与实践

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于,A B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经过坐标原点O ,与抛物线的一个交点为D ,与抛物线的对称轴交于点E ,连接CE ,已知点,A D 的坐标分别为2,0,6()(,8)--. (1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B 和点E 的坐标；

(2)试探究抛物线上是否存在点F ,使FOE FCE △≌△,若存在,请直接写出点F 的坐标；若不存在,请说明理由；

(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,)m ,直线PB 与直线l 交于点

Q .试探究：当m 为何值时,△OPQ 是等腰三角形.

山西省2016年高中阶段教育学校招生统一考试

数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】A

【解析】因为()0a a +-=，所以16-的相反数是

1

6

，故选A. 【提示】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案. 【考点】相反数 2.【答案】C

【解析】解502 6 x x +>??

，由①得5x >-，由②得3x <，所以不等式组的解集是53x -<<，

故选C.

【提示】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可. 【考点】解一元一次不等式组 3.【答案】C

【解析】A.调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查； B.调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查； C.调查全国中小学生课外阅读情况，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； D.调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查.

【提示】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查. 【考点】全面调查与抽样调查 4.【答案】A

【解析】从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形，故选A. 【提示】根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定. 【考点】简单几何体的三视图 5.【答案】B

【解析】将55 000 000用科学记数法表示为：75.510?，故选B.

【提示】科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中11|0|a ≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数. 【考点】科学记数法表示较大的数 6.【答案】D 【解析】A.23

9

()24

-=

，故A 错误； B.236(3)27a a =，故B 错误； C.35523

53111

555525555

--÷=

÷=?==，故C 错误；

=- D.

【提示】根据实数的运算可判断A ；根据幂的乘方可判断B ；根据同底数幂的除法可判断C ；根据实数的运算可判断D .

【考点】实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法 7.【答案】B

【解析】甲搬运5 000 kg 所用的时间与乙搬运8 000 kg 所用的时间相等，所以50008000

600

x x =

+，故选B.

【提示】设甲每小时搬运kg x 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：x ， 根据题意乙每小时搬运的货物为600x +，乙搬运8 000 kg 所用的时间为8000

600

x +；

再根据甲搬运5 000 kg 所用的时间与乙搬运8 000 kg 所用的时间相等列方程. 【考点】分式方程的应用 8.【答案】D

【解析】将抛物线化为顶点式为：2(2)8y x =--，左平移3个单位，再向上平移5个单位，

得到抛物线的表达式为2(1)3y x =+-.故选D.

【提示】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移. 【考点】抛物线的平移 9.【答案】C 【解析】

18023180609030EOF ∠=?-∠-∠=?-?-?=?

，1226r =÷=，∴

?2π30π6π180180

n r F x E

===g g ，故选C. 【提示】如图连接OF ，OE ，由切线可知490∠=?，故由平行可知390∠=?；

由OF OA =，且60C ∠=?，所以160C ∠=∠=?，所以OFA △为等边三角形，∴260∠=?，

从而可以得出?FE

所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出.

【考点】切线的性质，求弧长

10.【答案】D

【解析】(51)CG CF =-，2GH CF =， ∴

(51)51

CG CF GH --==

， ∴矩形DCGH 是黄金矩形，故选D.

【提示】由作图方法可知5DF CF =，所以(51)CG CF =-，且2GH CD CF ==，从而得出

黄金矩形.

【考点】黄金分割的识别

第Ⅱ卷

二、填空题 11.【答案】(3,0)

【解析】根据双塔西街点的坐标为(0,1)-和桃园路的点的坐标为(0,1)-，可知大南门为坐标原

点，从而求出太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标. 【提示】确定坐标原点是解题的关键. 【考点】坐标的确定 12.【答案】>

【解析】在反比函数m

y x

=

中，0m <，10m -<，30m -<，在第四象限y 随着x 的增大而增大，且13m m ->-，所以12y y >.

【提示】由反比函数0m <，则图象在第二四象限分别都是y 随着x 的增大而增大，∵0m <，

【解析】如图（1）由勾股定理可得DA ==；

由AE 是DAB ∠的平分线可知12∠=∠；

由CD AB ⊥，BE AB ⊥，EH DC ⊥可知四边形GEBC 为矩形， ∴HE AB ∥，∴23∠=∠， ∴13∠=∠，故EH HA =，

设EH HA x ==，则2GH x =-，DH x =，

∵HE AC ∥，∴DGH DCA △∽△，∴

DH HG

DA AC =

22x -=， 解得55x =-，故55235HG EH EG =-=--=-.

【提示】由勾股定理求出DA ；由平行得出12∠=∠，由角平分得出23∠=∠，从而得出13∠=∠，

所以HE HA =.再利用DGH DCA △∽△即可求出HE ，从而求出HG.

【考点】实数的运算，负指数幂，零次幂；分式的化简求值 17.【答案】13x =，29x =

【解析】解法一：原方程可化为22(3)(3)(3)x x x -=+-，∴22(3)(3)(3)0x x x --+-=， ∴(3)[2(3)(3)]0x x x ---+=，∴(3)(-9)0x x -=，∴3090x x -=-=或，∴13x =，29x =. 解法二：原方程可化为212270x x -+=，这里1a =，12b =-，27c =， ∵224(12)4127360b ac -=--??=>，∴1236126

212

x ±±=

=

?，因此原方程的根为13x =，29x =.

【提示】方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取3x -，利用公式法求解； 方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解. 【考点】解一元二次方程 18.【答案】（1）见解析

（2）该校对“工业设计”最感兴趣的学生约是540人 （3）0.13（或13%或

13

100

） 【解析】（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示：

（2）180030%540?=（人），∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人.

（3）140%30%8%9%13%----=，∴正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率13%. 【提示】（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可；

（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1 800乘以30%； （3）通过对扇形的观察可知.

【考点】条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率 19.【答案】（1）证明：又∵A C ∠=∠， ∴MBA MGC △≌△， ∴MB MG =.

又∵MD BC ⊥，BD GD =， ∴CD CG GD AB BD =+=+.

（2）由（1）的证明方法可证BE ED DC =+，

【提示】（1）已截取CG AB =，∴只需证明BD DG =；且MD BC ⊥，所以需证明MB MG =，

故证明MBA MGC △≌△即可；

（2）因为2AB =，故利用三角函数可得BE ；由阿基米德正弦定理可得BE DE DC =+，

则

BDC △周长BC CD BD BC DC DE BE =++=+++BC DC DE BE =+

++（）BC BE BE =++2BC BE =+，然后代入计算可得答案.

【提示】过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从而求出GD ，继而求出CD ，

连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF .

当四边形BCC D '''恰好为正方形时，分两种情况：①点C ''在边C C '上，

24071

13131313

a C C ='-=

-=； ②点C ''在边C C '的延长线上，240409

13131313

a C C ='+=

+=

.

综上所述，a的值为71

13

或

409

13

.

（4）本小题答案不唯一.

例：画出正确图形（如下图所示），平移及构图方法：将ACD

△沿着射线CA方向平移，平移距离为

1

2

AC的长度，得到A C D

''

△，连接A B'，C D'，如图4.

结论：四边形是平行四边形.

【提示】（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明；

（2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明；

（3）利用平移的性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情况当点C''在边C C'上和点C''在边C C'的延长线上时；

（4）开放型题目，答对即可.

【考点】几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定，23.【答案】（1）抛物线的函数表达式为2

1

38

2

y x x

=--，

点B的坐标为(8,0)，

点E的坐标为(3,4)

-

（2）抛物线上存在点F，使FOE FCE

??

≌，点F的坐标为(317,4)

--或(317,4)

+-

（3）当m的值为

8

3

-或

32

3

-时，OPQ

?是等腰三角形

【解析】（1）∵抛物线28

y ax bx

=+-经过点(2,0)

A-，(6,8)

D-，

∴

4280

36688

a b

a b

--=

?

?

+-=-

?

，解得

1

2

3

a

b

?

=

?

?

?=-

?

，∴抛物线的函数表达式为2

1

38

2

y x x

=--.

∵22

1125

38(3)

222

y x x x

=--=--，

∴抛物线的对称轴为直线3

x=.

又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(2,0)

-，

∴点B的坐标为(8,0).

设直线l的函数表达式为y kx

=，∵点(6,8)

D-在直线l上

∴68

k=-，解得

4

3

k=-，

当0x =时，2

388y x x =

--=-，∴点C 的坐标为(0,8)-，

设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为238y k x =-，

∴2384k -=-，解得24

3k =， ∴CE 的函数表达式为483y x =-，令0y =，得4

803

x -=，

∴6x =，∴点N 的坐标为(6,0). ∵CN PB ∥，

∴

OP OB =，∴8m -=，解得32

m =-.

解法二： 当0x =时，2

13882

y x x =

--=-，∴点C 的坐标为(0,8)-，∴点E 的坐标为(3,4)-， ∴22345OE =+=，223(84)5CE =+-=，∴OE CE =，∴12∠=∠， 设抛物线的对称轴交直线PB 于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况： ①当QO QP =时，OPQ △是等腰三角形. ∴13∠=∠，∴23∠=∠，∴CE PB ∥

又∵HM y ∥轴，∴四边形PMEC 是平行四边形，∴8EM CP m ==--， ∴4(8)4HM HE EM m m =+=+--=--，835BH =-=， ∵HM y ∥轴，∴BHM BOP ~△△，∴HM BH

OP BO

=

∴

458m m --=-，∴32

3

m =- ②当OP OQ =时，OPQ △是等腰三角形． ∵HM y ∥轴，∴OPQ EMQ ~△△，∴

EQ EM

OQ OP

=，∴EQ EM =， ∴5()5EM EQ OE OQ OE OP m m ==-=-=--=+，∴4(5)HM m =-+ ∵HM y ∥轴，∴BHM BOP ~△△，∴HM BH OP BO =，∴158m m --=-，∴8

3

m =-.

∴综上所述，当m 的值为8

3-或32

3

-

时，OPQ △是等腰三角形.

【提示】（1）将A ，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式； 点B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A 点坐标即可求出B 点坐标；

点E 坐标：E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，利用D 点坐标求出l 表达式，令其横坐标为

3

x=，即可求出点E的坐标；

=，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所以点F （2）利用全等对应边相等，可知FO FC

-，带入抛物线表达式，即可求出横坐标；

的纵坐标为4

（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解.

【考点】求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构成