+高等流体力学考题参考答案

2009 高等流体力学考题答案

1.写出下列各量的数学表达式：

（1）单位时间内流过以n为法向的面积元dA的流体体积流量（v.n dA ）

（2）Δt时间内经固定不动空间v的表面S净流入v内的质量

（

s

v nds ρ

-?

?Δt ）

（3）流体体积v内的动量，动能的随体导数

(

2

,

2

v v

D D v

vd d

Dt Dt

ρτρτ

?? )

2．正交直角坐标系与正交曲线坐标系的主要差别是什么：

a----- 正交直角坐标系的基向量i，j，k不随位置而变，正交曲线

坐标系的基向量e1,e2,e3可能随位置而变。

b.---- 正交直角坐标系x,y,z的量纲均为长度，正交曲线坐标系q1,q2,q3的量纲不一定均为长度。

如果柱坐标的三个单位向量是r,θ,z ; 正交直角坐标系的三个单位向量是 i,j,k 则

如果球坐标的三个单位向量是R,θ,ε ; 正交直角坐标系的三个单位向量是 i,j,k 则

cos sin sin cos cos sin sin cos r z r z

e i j e i j e k

i e e j e e k e ???????????=+=-+==-=+= sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin R e i k e i j k e i j

j ?ε?ε??ε?ε?εε?ε=++=+-=-+

cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos R R R i e e e j e e e k e e ε?ε??

??εε?ε?εε??ε=+-=++=-

3. 试证明两种不同密度(ρ1,ρ2)不相混合的流体平衡时，其分界面与质量力垂直。

先证明分界面是等压面，再由流体平衡时满足的方程就可得出此结论。

4.设有平面曲线坐标系

ξ=x 2-y 2

（1）

η=2xy （2）

试问：(1)是否是正交曲线坐标系？(2)拉梅系数为多少？ 因grad ξ.grad η=0,所以此曲线坐标系为正交曲线坐标系。

5. 给定质量力场

f x =y 2+2ayz+z 2 f y =z 2+2bzx+x 2 f z =x 2+2cxy+y 2

问a,b,c 为何值时，流体可以平衡。

a=b=c=1/2

6. 注明以下方程满足的条件：

（1） 连续性方程：div(ρv )=0 ( 定常流

动 ) （2） 运动方程：

ρ

p

t ?-=??+??f v v v )( ( 理想流体 ) （3） f =ρ

p

? ( 流体平衡 )

(4)

ρ

p

t ?-=??+??f v v v )(+ν△v ( 不可压粘性流体 )

（5）(V ·▽) V=▽(V 2/2)- V ×rot V ( 恒等式 )

7. 已知用拉格朗日变数表示的速度场为 ｕ＝（ａ＋１）ｅｔ－１ ｖ＝（ｂ＋１）ｅｔ－１

式中ａ，ｂ是ｔ＝０时刻该流体质点的直角座标值。

试求：

（１）ｔ＝２时刻流场中质点的分布规律；x=(a+1)e 2 -3,y=(b+1)e 2 -3 （２）ａ＝１，ｂ＝２这个质点的运动规律；x(1,2,t)=2e t -t-1,y(1,2,t)=3 e t -t-1 （３）加速度场。a x =x+t+1,a y =y+t+1 8. 已知

,2

sin ,2cos ===z r v r v r v θ

θθ 求流线满足的方程。r=csin 2θ

9. 在?

??

???→→→321,,e e e 坐标系中,应力张量为

??

??

?

?????--=?

402050207σ )5

3,0,54(),0,1,0(),54,0,53('

3'21'

==-=→→→

e e e

求

在?

?????→→→'3'

2'1,,e e e 构成的坐标系中, 应力张量的表达式

(1) ,702050204σ??

??=??

????

(2)老坐标系下表示的单位法向量为)3

1,32,32

(-=→

n 的平面上的应力向量→

n p ；

→

n p =)0,3

10

,4(402050207).31,32,32(-=????

?

?????--- （3） 求垂直于该平面的应力向量分量及位于该平面内的分量。

(p nn =44/9,p n Τ

=

99

=1.7916

10. 一维不定常浅水流方程，

00=??+??+??=??+??+??x

u h x h u t h x

h g x u u t u

求其特征线方程及特征线上的关系式。 特征线方程

:

dx u dt =

±dx

u dt

=± 特征线上的关系式

:u c ±

=u c ±=

11. 在平板层流边界层中，=∞U 常数，设速度剖面为

)2sin(δ

πy U u =∞ 利用动量积分关系式计算τw ，δ，c f

δ=

42

τw

= 2

c f

=

12. 在（a ，0），（-a ，0）处放置强度为Qs 的点源，在（0，a ），（0，-a ）处放置强度为Q s 的点汇，

证明a z =是流线。

只要证明在其上流函数为常数。()i r u vi u iu e ??+=+可以用公式：

()i r u vi u iu e ??+=+

13. 求流体垂直作用于半径为a 的四分之一圆板上的总作用力F 和压力中心C 的位置。已知OX 为流体自由水平面，其上压力为零。

313

F ga ρ=

38316

c c x a

y a

π== 14. 空气流经拉伐尔管，出口面积比A */A e =0.2363,(其中 A *是喉部面积，A e 是出口面积)，如果在A */A 1=0.5926的A 1处有一激波，试用驻点压强P 0表示背压强、出口马赫数M e 和激波前后的压强比。

提示：（1）如 伐尔管内无激波，则整个流动均为等熵流，出口马赫数M e 为------3--------，

（2）现在A */A 1=0.5926的A 1处有一激波，激波前为等熵流，激波前马

赫数M 1为----2-------，P 1/P 01=----0.12780-----

（3）激波后马赫数M 2为

--

--0.57735----

---

，

P 02/P 01=----0.72088--, P 2/P 1=--4.5---, P 2/P 01=--0.5751-。 （4）激波后至出口为等熵流，由马赫数M 2，可查得

A*2/A2=---0.8221--，（A1= A2）

（5）如果能求得A*2/A e就能求出M e=--0.194-，进而查得P e/P02=--0.9741---,最终得出P e/P01=--0.7022--，

（6）结论：如果背压强是P e/P01=-0.7022---激波将出现在上述位置，而出口马赫数M e是0.194-。