四川复变函数复习题二

复习题二

一、 判断题（正确打∨，错误打?，把判断结果填入下表。）：

1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内解析。（ ）

2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在。（ ）

3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( )

4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ）

5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ）

6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ）

7、若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z )的可去奇点。（ ）

8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C

dz z f 。（ ）

9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ）

10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ）

二、 单项选择题（将选择结果填入下表。）

.

)Re()Re()

(;

)

(;

)

(;

)

()(

,1212

1212121z z D z z C z z B z z A z z =====则必有

若、

.)2,3,2()()2,3,2()(;)2,3,2()(;)2,2,3()()

(),,()23()()(222----=+++++-=D C B A c b a y x cxy i by ax y x z f 处处解析，则若、

.

2)(;

2)(;

)12()(;)()12()

()(

13ππππk D i k z C k z B k i k z A e z =-=+==为整数，则此方程解为方程、.

0)(;0)(;

)

(;)()

(

4122但发散

，

通项趋于通项不趋于绝对收敛条件收敛为

级数、D C B A n

e n i n ∑∞

=

.

)(;)(;)(;

)()

(

0sin 52二级极点一级极点可去奇点本性奇点是

在点函数、D C B A z z

z =

三、填空题

.

,2,1,0,23

,2

311 ±±=+-

=-=k k Argz i

z ππ

则设、

2、=+-++→11lim 22z i z z i z _21i

-_________。 i z d z z z z π41

1

232

2=

-+-?

=计算积分

、

.1)1(41

=

+∑∞

=R n n z n n

的收敛半径级数、

2

1

)1

cos (Re 50-

=

=z

z s z 、

四、证明题

1、利用积分估值定理证明

? -+L z z z d 11

≤π8，其中L 为圆 | z – 1 | = 2。

解 在L 上被积函数模

21

2

112112111=-+≤-+=-+-=-+z z z z z z .而圆周长为4π,由积分估值定理可得

? -+L z z z d 11

≤ππ842=?.

2、证明y x i y x z f sinh cos cosh sin )(?+?=在z 平面上解析，并求)(z f '。见教材p90面8题.

)

,()(),(23y x u z f y x v z y xy u =+=及解析函数求其共轭调和函数平面上的调和函数，并为、证明),(y x v i +，使合条件0)0(=f

五、计算题

1、设3z w =确定在从原点0=z 起沿正实轴割破了的z 平面上，并且()i i w -=，试求()

i w 25-的值。 见教材p92面22题. 2、函数)

1(1

)(-=

z z z f 在z 平面内有两个奇点1z 0==及z ，试分别求)(z f 在此二点去心邻域

1|1|01||0<-<<

dz z ||。

解 设0到1的直线段为1C :10,≤≤=t t z ;??=

=1

2

1||1

tdt dz z C ; 设1到i +1的直线段为10,1:2≤≤+=t ti z C ,???+=++=1

10

221)1(1||2

idt t ti d t dz z C

)]21ln(2122[|))1ln(2112(

1022++=++++=i t t t t i 4、?

∞

+ ∞- ++)

)((2222b x a x dx

（a > 0，b > 0,b a ≠）。

解 设,)

)((1

)(2

222b z a z z F ++=

它在上半平面有两个一阶极点,bi z ai z ==21,,且满足定理条件,而 )

(21

)(Re 22a b ai z F s i z z -=

=;)

(21)(Re 222

b a bi z F s z z -=

=,故

b a b a bi a b ai i b x a x dx +=-+-=++?∞

+ ∞- π

π))

(21)(21(2))((22222222= 5、若0=z ，2π=z 均在C 的内部，计算dz z z z

i

C ?-)

2

(cos 212ππ 解 设)

2

(cos )(2π-=z z z

z f .它在C 的内部有一个二阶极点0=z ,一个一阶极点2π=z .

2

04

2cos )(Re ππ

-

='

?????

?

??

-===z z z z

z f s ,0|cos )(Re 2

22

==

==

ππ

z z z z

z f s ,由柯西留数定理得: dz z z z i C

?-)

2

(cos 21

2π

π=2

4

π-

=