(完整版)高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳

1. 等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和:()()

1112

2

n n a a n n n S na

d +-=

=+

性质：{}n a 是等差数列

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

0n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由10

0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.

(6)项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇.

2. 等比数列的定义与性质

定义：

1

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.

等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=

，或G =

前n 项和：()11(1)

1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪

=-⎨≠⎪

-⎩（要注意！）

性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m

n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =；

2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法 如：数列{}n a ，122111

25222

n n a a a n +++=+……，求n a

解: 1n =时，11

2152a =⨯+，∴114a = ①

2n ≥时，12121111

215222

n n a a a n --+++=-+…… ②

①—②得：

122n

n a =，∴1

2n n a +=，∴114(1)2(2)

n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ ［练习］数列{}n a 满足1115

43

n n n S S a a +++==，，求n a

注意到11n n n a S S ++=-，代入得

1

4n n

S S +=；

又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =

2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法 如：数列{}n a 中，1131

n n a n

a a n +==+，，求n a

解:

3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11

n a a n

=又13a =，∴3n a n =.

（3）迭加法 由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法

2n ≥时，21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫

⎪-=⎪

⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……

∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()1

1113

2n n n a a a n --==+≥，，求n a （

()1312n

n a =

-）

（4）等比型递推公式 (待定系数法)

1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）

可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =

-，∴1n d a c ⎧

⎫+⎨⎬-⎩⎭

是首项为1

1d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+

=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛

⎫=+- ⎪--⎝⎭

（5）倒数法 如：11212

n

n n a a a a +==

+，，求n a 由已知得：

1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112

n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列，11

1a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·，∴21n a n =+

(附：公式法、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

、累加法、累乘法、构造等差或等比1n n a pa q

+=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法) 4. 求数列前n 项和的常用方法

(1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

()()221111

;;;;1412132

n n n n a a a a n n n n n n n =

===+-+++

()()

()()()()1

221

211;1;212321212n n n n n n n n n a a a n n n n ++++==-=++--+