组合数学题库-最新-答案版

组合数学习题

1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2.

从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个

整数能整除另外一个整数。

任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到2n之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。

至少有两个L是一样的，则它们的差=(2i-2j)L>=2，题目应该是说差最大为2，而不是除。

2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100.

设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。

3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。

鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质

4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q).

令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。

在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有

R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为

p个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)≤

R(p,q-1)+R(p-1,q)

5．There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are acquainted, or there are 4 each pair of whom are unacquainted。

从10人中随意选一个人p，F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人

若F中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识，则加上p有3人相识，也满足题设。

若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。

6．In how many ways can six men and six ladies be seated at round table if the men and ladies to sit in alternate seats?

6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。

6!/6 - 6*5*4*3*2*1

圆排列：P(n,r)/r = n!/(r(n-r)!)

7．In how many ways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit next to A? What if B only refuses to sit on A right?

A．15个人进行圆排列，减去ab组成一个元素的14人的圆排列，然后减去ba 组成一个元素的14人的圆排列。

15!/15-14!/14-14!/14

B．15个人进行圆排列，减去ab组成一个元素的14人的圆排列。

14!-13!

8．Determine the number of 10-combinations of the multiset

S={∞*a,4.b,5*c,7*d}

(1+x+x2+x3+…)( 1+x+x2+…+x4) ( 1+x+x2+…+x5) ( 1+x+x2+…+x7)展开找X~10的系数

9．把n个有编号的球放入m个有编号的盒子中，不允许有空盒子，有多少种放法。

先假设，盒子没有编号，然后乘上组合与排列的关系：

)

,

(

!*

2

m

n

S

m

10．证明在n（n≥2）个人中总有两个人，他们在这群人中所认识的人数目相同。

当n＝2时，如果两个人相互认识，则每个人认识的人只有一个；如果不

认识，则每个人认识的人为0个。

当n>2时，设x i (x=1,2,…,n)表示，第i个人认识的人的数目。（每个人最

多只能认识n-1个人。）

A．如果每个人都有熟人

那么由鸽子洞原理知道至少有两个人i和j认识的人数相同即x i＝x j B．如果只有一个人没有认识的人

那么对于剩下的n－1个人来说能认识的人对多只有n－2个，由鸽

子洞原理知道，这n－1个人中至少有两个人i和j认识的人数一样

即x i＝x j

如果至少有两个人都没有熟人，则满足题设。

11．空间中有30个点，这30个点中无四个点共面，问它们能确定多少个三角形？

能确定多少个四面体？

12．从整数1，2， ，1000中选取三个数，使得它们的和是4的倍数，求这样的选法有多少种？