初二-图形的平移与旋转分析

3.3图形的平移与旋转知识整合

【知识体系】

一、基本概念

1、平移的概念：

2、平移的作图方法。

3、平移在生活中的应用。

4、旋转的规律。

5、旋转作图。

6、轴对称。

7、简单的图案设计。

二、思想方法总结

1、化归思想：即是把有待解决的或未解决的问题，通过转化，归结是到一类已解决或已解决的问题中去，以求得解决。

2、数形结合思想。

3、巧妙利用平移变换：平移变换是通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移到新的位置上，使图中分散的条件与结论联系起来。

4、巧妙地利用旋转变换：旋转变换是通过将某一图形绕一个定点旋转一个角度，使之转移到一个新位置上，把图形中的分散条件和结论联系起来。

【题型体系】

题型一转化思想运用

例1、如图所示，在△ABC中，AC=5,中线AD=7，△EDC是由△ADB绕点D 旋转180°所得，求AB边的取值范围。

题型二数形结合思想

例2、如图所示，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重回。（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转角是多少度？

（3）若AD=4，DE=1,连接EF，则EF的长度是多少？

B

F

例3、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重回，如果AP=3，求P P ′的长。

练习1、（2011山东聊城，20，8分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC ＝∠B ′A ′C ＝30°）按图①方式放置，固定三角板A ′B ′C ，然后将三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB 与A ′C 交于点E ，AC 与A ′B ′交于点F ，AB 与A ′B ′相交于点O ． （1）求证：△BCE ≌△B ′CF ；

（2）当旋转角等于30°时，AB 与A ′B ′垂直吗？请说明理由．

题型三 旋转性质的应用

例4、如图，一块边长为8cm 的正方形木块ABCD ，在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转到A B ′C ′D ′的位置，则顶点C 从开始到结束所经过的路径长为（ ） A. 16cm B. 162 C. 5π D. 42

例5、如图，P 是等边三角形ABC 中的一点，PA=2，PB=32,PC=4，求BC 边得长是多少？

练习1：如图，菱形OABC 中，∠A=120°,OA=1，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°，则图中由弧,'','A B BB 弧C A ',CB 围成部分的面积是多少？

练习2、Rt △ABC 中，已知∠C=90°，∠B=50°,点D 在边BC 上，BD=2CD,

P'

B P

B

A

C'

D

C

B

P

A

B

A 'C O

C '

B '

A

B

把△ABC 绕点D 逆时针旋转m 度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m= 。

【新典型题分类】 类型一 转化思想 例5、如图所示，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B+∠C=90°,AB=6cm,CD=8cm ，试求BC-AD 的长。 练习：如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,四边形PBFD 是正方形，若四边形ABCD 的面积是18，求DP 的长。

类型二 旋转中的全等

例6、如图，已知△ABA ′、△BM M ′都是正三角形，△AMB 与△A ′M ′B 是全等三角形，问△AMB 经过怎样的变换后得到△A ′M ′B ？

变式训练：

如图，Rt △ABC 中，∠BCA=90°，∠ABC=60°，△ABC 以点C 为中心旋转的△A ′B ′C 的位置，使B 在斜边 A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，试求∠BDC 的度数。

例8、在等边三角形ABC 中有一点P ，已知PA=2, PB=3, PC=13，求∠APB 。

变式训练：如图，点P 为正方形ABCD 内一点，已知

PA ：PB ：PC=1:2:3，求∠APB 的度数。

C

A

C

A

C

A

类型三 变换的特征

例9、如图，如果在正八边形硬纸板上剪下一个三角形（如图中的阴影部分），那么图中②③④的阴影部分均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到。要得到图中②③④的阴影部分，依次进行的变换不可行的是（ ）

① ② ③ ④

A. 平移、对称、旋转

B. 平移、旋转、对称

C. 平移、旋转、旋转

D. 旋转、对称、旋转

类型四 数形结合

例10.如图所示，已知P 为正△ABC 内一点，∠APB=110°, ∠APC=125°.

求证：以AP, BP, CP 为边可以构成一个三角形，并确定其构成的三角形各内角的度数。

练习：（2011江苏泰州，16

，3分）如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格 （每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 点

B 顺时针旋转到△AB

C 的位置，且点A 、C 仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是 平方单位（结果保留π）．

【中考链接】

图形平移与旋转式中考的热点，其主要考点有： 1、 平移的概念及性质（见2题）；

2、 旋转的概念及性质（见1、

3、4题）； 3、 简单的旋转作图（见2、5题）；

4、 图形之间的变换关系以及简单的图案设计（见2题）。

平移作图、旋转作图以作图题的形式考查，其它考点以填空题、选择题、解答题的形式考查。

【考题1】如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右滚动

C B

（不滑动），当正方形翻转两周后，正方形的顶点A

所经过的路线的长是 cm.

【考题2】如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）。

【考题3】 (2011年河北)如图，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图，则阴影部分的周长为___________.

【考题4】（2011浙江）如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） （A ）30°

（B ）45°

（C ）90°

（D ）135°

【考题5】（2011四川成都）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将

Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为?BD

，则图中阴影部分的面积是_______

【考题6】（2011安徽，）在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ．如图，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ．

求证：△A ′CD 是等边三角形；

【考题7】（2011山东济宁，22，８分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，

300

E

C

D

A

B

以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A （2，3），B (12，7)．

(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管最短? (2)水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

【考题8】（2011广东茂名，18，7分）画图题：

(1)如图，将△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转180°后得到△111C B A .请你画出旋转后的△111C B A ； (2)请你画出下面“蒙古包”的左视图．．．。．

【考题9】（2011湖南益阳，10，4分）如图4，将?ABC 沿直线AB 向右平 移后到达?BDE 的位置，若∠CAB ＝50°，∠ABC ＝100°，则∠CBE 的度数 为 ．

【考题10】（2011山东济宁，9，3分）如图，△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE =4cm ，则△ABD 的周长是 A ．22cm B ．20 cm C ．18cm D ．15cm

画出它的左