专题复习六必修五《数列与不等式》知识要点

《等比数列与不等式》知识要点

一．数列的概念与简单表示法．

(1)数列是定义域为(或它的有限子集{1，2，…，n})的特殊函数，

(2)数列的表示方法：

解析法(通项公式法)；列表法；图象法；递推法（递推公式法）．

(3)a n与S n的关系式：a n＝

二．等差数列

(1)定义：．

（

(2)公差为d的等差数列{a n}的通项公式：，

等差数列中任意两项的关系：. 即：d ＝

(3)等差中项：

若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，可表示成．

(4)前n项和公式S n＝＝．

(5)等差数列的判断：定义法:

等差中项法：

<

通项公式法：形如

求和公式法：形如

(6)等差数列的性质

①若公差，则{a n}是递增等差数列；

若公差 ，则{a n }是递减等差数列； 若 ，则{a n }是常数列．

②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则 ．

%

若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则

③若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ， ，…仍成等差数列，公差

(7) 若{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项的和，T n 是{|a n |}的前n 项的和，

若0

n a 是正负项的分界项，它与1a 的符号一致。

前正后负：T n = ； 前负后正：T n = （8）等差数列前n 项和的最值 ①等差数列{a n }中，

[

a 1>0，d <0时，S n 有 ；

a 1 ，d ，S n 有最小值． ②最值的求法

配方或求二次函数最值的方法：

等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋

n

n －12

d ＝d 2n 2

＋(a 1－d 2

)n ＝An 2

＋Bn ，可通过 求得． 邻项变号法：．

}

当a 1>0，d <0时，满足 的n ，使S n 取最大值；

当a1<0，d>0时，满足的n，使S n取最小值．

三．等比数列

(1)定义：(q为常数，且q≠0)．

(2)公比为q(q≠0)的等比数列{a n}的通项公式：，

'

等比数列中任意两项的关系：.

(3)等比中项：

若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，可以表示成.

(4)前n项和公式S n＝

(5)等比数列的判断: 定义法:

等差中项法：

&

通项公式法：形如

求和公式法：形如S n=

(6)等比数列的性质

①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则；

若m＋n＝2(m，n，p∈N*)，则；

②若{a n}是等比数列，则S n，，，…仍成等比数列(当S n≠0时)，且公比为（q≠－1)．

③如果{a n}，{b n}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，

·

那么数列??????1a n ，{ka n }(k ∈R ，且k ≠0)，{a n ·b n }，????

??

b n a n ，{|a n |}仍是等

比数列，且公比分别为 ， ， ， ， .

(7)在等比数列{a n }中，若q >0，则{a n }中的项 ；

若q >0，则{a n }中的项的符号

(8) 在等比数列{a n }中，q =1时，{a n }是 。

四.常见数列的求和

（1）公式法： 数列， 数列的求和用公式

…

（2）分组求和法：

适当分组，可拆分成两个或两个以上的 或 数列求和问题

（3）裂项法：通项公式是分式的形式如：①

1

()

n n k -= ②若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则1

1

n n a a -?=

=

（4）错位相减法：一般地，若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项的和时，可用错位相减法。

注意：①识别题型： ；

[

②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两

式 ，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；

>

四，不等式

<

1．比较大小的依据：?a>b；?a＝b；?a

(1)对称性：a>b?；

(2)传递性：a>b，b>c，?；

(3)可加性：?a＋c>b＋c.

a>b，c>d，?

、

(5)可乘性：a>b，，?ac>bc；a>b，，?ac

，?ac>bd．

(7)可乘方：a>b，?a n>b n(n∈N*，n≥2)．

(8)可开方：a>b，?n

a>

n

b(n∈N*，n≥2)．

3．一元二次不等式的解集

y＝ax2＋bx＋c(a>0)的

图象

!

ax2＋bx＋c＝0(a>0)

的根

ax2＋bx＋c>0(a>0)#

ax2＋bx＋c<0(a>0)

{

五.二元一次不等式

1，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，其作法分两步：

①定界：画直线Ax＋By＋C＝0确定边界．不包含边界，含边界

②定域：法一确定区域；

法二由的符号与决定：，。

2，线性规划问题：

截距型：z=ax by

+；b>0时上移，下移；b<0时上移，下移。

斜率型：z=y b

x a

-

-

；表示。

（

距离型：22

()()

x a y b

-+-；表示。

三，基本不等式

1．两个正数的基本不等式：ab≤；

变式：

2．利用基本不等式求最值：若a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝S ，ab ＝P ，则： 如果P 是定值，那么当a ＝b 时，S 的值最小为 ； 如果S 是定值，那么当a ＝b 时，P 的值最大为 ．

！

求最值的必要条件： 、 、 ．

3．双勾函数：,0a

y x a x =+>

|

]

《等比数列与不等式》知识要点

一．数列的概念与简单表示法．

(1)数列是定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…，n })的特殊函数，

(2)数列的表示方法：

解析法(通项公式法)； 列表法； 图象法；递推法（递推公式法）．

(3)a n 与S n 的关系式： a n ＝?????S 1， （n ＝1）S n －S n －1， （n ≥2，n ∈N *

）

…

二．等差数列

(1)定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)．

(2)公差为d 的等差数列{a n }的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，

等差数列中任意两项的关系：a n ＝a m ＋(n －m )d . 即：d ＝

a m －a n

m －n

(3)等差中项：

若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，可表示成A ＝a ＋b 2．

(4)前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）

2

d ． \

(5)等差数列的判断：定义法: a n ＋1－a n ＝d (常数)

等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *) 通项公式法：形如 a n ＝kn+b 求和公式法：形如 S n =An 2+Bn

(6)等差数列的性质

①若公差d >0，则{a n }是递增等差数列；若d <0，则{a n }是递减等差数列；若d ＝0，则{a n }是常数列．

②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．

￥

若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p

③若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等差数列，公差n 2d .

(7) 若{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项的和，T n 是{|a n |}的前n 项的和，

若0

n a 是正负项的分界项，它与1a 的符号一致。

前正后负：T n =0

00............2...n n S n n S S n n ≤??->?

； 前负后正：T n =0

00............2...n n S n n S S n n -≤??-+>?

（8）等差数列前n 项和的最值

①在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值；当a 1<0，d >0，S n 有最小值．

&

②最值的求法

配方或求二次函数最值的方法：等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝na 1＋

n n －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2

)n ＝An 2

＋Bn ，可通过配方或求二次函数最值的方法求得．

常用邻项变号法：．

当a 1>0，d <0时，满足????? a n ≥0，

a n ＋1≤0的n ，使S n 取最大值；

当a 1<0，d >0时，满足?????

a n ≤0，

a n ＋1

≥0的n ，使S n 取最小值．

：

三．等比数列

(1)定义：a n ＋1

a n

＝q (q 为常数，且q ≠0)．

(2)公比为q (q ≠0)的等比数列{a n }的通项公式：a n ＝a 1·q n －1，

等比数列中任意两项的关系：a n ＝a m q n －m .

(3)等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，可以表示成G ＝±ab .

(4)前n 项和公式 S n ＝????

?na 1， （q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ， （q ≠1）

…

(5)等比数列的判断: 定义法: a n ＋1

a n

＝q (q 为常数，且q ≠0)

等差中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *

，a n ≠0)

通项公式法：形如 a n ＝kq n 求和公式法：形如 S n =Aq n -A

(6)等比数列的性质

①若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2 (m ，n ，p ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p 2； ②若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列(当S n ≠0时)，且公比为q n (q ≠－1)．

—

③如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列??????1a n ，{ka n }(k ∈R ，且k ≠0)，{a n ·b n }，????

??b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1，q 1q 2，q 2

q 1

，|q 1|.

(7)在等比数列{a n }中，若q >0，则{a n }中的项同号；若q >0，则{a n }

中的项的符号正负相间

(8) 在等比数列{a n }中，q =1时，{a n }是不为零的常数列。

四.常见数列的求和

（1）公式法：等差数列，等比数列的求和用公式

~

（1）分组求和法：适当分组，可拆分成两个或两个以上的等差

或等比数列求和问题

（2）裂项法：通项公式是分式的形式如：①1()n n k -=111

()k n n k

?-- ②若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则11n n a a -?=1111

(

)n n

d a a --

（3）错位相减法：一般地，若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项的和时，可用错位相减法。

注意：①识别题型：等比与等差数列的积；

?

②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，

以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；

?

四，不等式

`

1．比较大小的依据：a －b >0?a >b ； a －b ＝0?a ＝b ； a －

b <0?a

3．一元二次不等式的解集

Δ＝b2－4acΔ>0

Δ＝0

Δ<0

y＝ax2＋bx＋

c(a>0)的图象

|

ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等

的实根

有两个相等

的实根

没有实根

—

ax2＋bx＋c>0(a>0){x|xx2}{x|x≠－b

2a}

R ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1

(1)对称性：a>b?b

(2)传递性：a>b，b>c，?a>c；

(3)可加性：a>b，?a＋c>b＋c.

a>b，c>d，?a＋c>b＋d.

(5)可乘性：a>b，c>0，?ac>bc；a>b，c<0，?ac

a>b>0，c>d>0，?ac>bd．

(7)可乘方：a>b>0，?a n>b n(n∈N*，n≥2)．

(8)可开方：a>b>0，?n

a>

n

b(n∈N*，n≥2)．

五.二元一次不等式

1，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，其作法分两步：

①定界：画直线Ax＋By＋C＝0确定边界．虚线不包含边界，实

线含边界②定域：法一取特殊点确定区域；

法二由y的系数的符号与不等号决定：同号取上，异号取下。

2，线性规划问题： 截距型：z=ax by +；

b>0时上移变大，下移变小；b<0时上移变小，下移变大。 斜率型：z=

y b

x a

--；表示两点（x,y ）与（a,b ）连线的斜率。 距离型：z=22()()x a y b -+-；表示两点（x,y ）与（a,b ）的距离。

三，基本不等式

1．两个正数的基本不等式：

ab ≤a ＋b 2；

变式：2ab a b ≤+ 2

()4

a b ab +≤

2．利用基本不等式求最值：若a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝S ，ab ＝P ，则： 如果P 是定值，那么当a ＝b 时，S 的值最小为2p ；

如果S 是定值，那么当a ＝b 时，P 的值最大为2

4

S ．

求最值的必要条件：一正、二定、三相等． 3．双勾函数：,0a y x a x

=+>