函数的奇偶性与单调性

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函数的奇偶性与单调性一.知识总结

1.函数的奇偶性(首先定义域必须关于原点对称)

;为偶函数为奇函数;(1)

在原点有定义(2)奇函数

任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一(3)

个偶函数之和

(奇)(偶)即.

2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)

称为:时有区间,上任意两个值,若(1)定义.为称时有上增函数,上减函数若,

(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);④复合函数单调性判断法则.

3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.

二.例题精讲

的函数是奇函数已知定义域为1【例】.

求的值Ⅰ);(

求的恒成立),若对任意的,不等式(Ⅱ.取值范围

是奇函数,所以=0解析:(Ⅰ)因为,

)知(-1(1)= -f又由 f

(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又由题设条件得:

,即:

整理得

上式对一切均成立,

从而判别式

在处取得极值-设函数2,】【例2试用的单调区间.和,表示并求

而解:依题意有

解得故

。从而或,得令。

处取得极值,由于在

,即。故

时,,即(1);若,则当

时,;2)当;当时,(

的单调增区间为;从而

单调减区间为

,即若,同上可得,

为;单调减区区的单调增间间为

都有,若对所有的】3(理),设函数【例.的取值范围求实数成立,

的单调性讨论函数(文)

(理)解法一:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a

a-1-1, ex0(x)g令′=,解得=

(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.

a-1 (ii)当a>1时,对于0<x<e-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,a-1-1)是减函数,e

a-1-1,都有g(x)<g(0),即当,所以对=00<x<ea>1 又g(0)时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.综上,a的取值范围是(-∞,1].解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.

对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a令g′(x)=0,解得x a-1-1,=e

a-1a-1当x>e-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,当-1<x<e-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,

a-1-1≤0.由此得ag(0)≥0都有g(x)≥充要条件为e≤1,所以要对所有x 即a的取值范围是(-∞,1].

)解:设,(文

,∴,,

,则时,为增函数当

为减函数,则当时,

为常量,无单调性当时,

其中为常数,)】(理.

已知函数4【例

讨论函数,若)的单调性;(Ⅰ

.试证=4,:若)(Ⅱ,且时,上的奇函数,当已知为定义在,文().求的表达式

(理)

∴(文)解:∵为奇函数,

当时,

∵∴为奇函数

三.巩固练习

是上的减函数,那么 1.已知的取( )值范围是

D. B.A. C.,,时,是周期为2的奇函数设 2.当已知( )则

D. A. C.B.

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )

D.

A. C.

B.

(0,)成立,则 4.的取值范围是若不等式对于一切

2 C.- D.-3A.0 B. –是上的任意函数,则下列叙述正确的是 5.( )设

A.是奇函数

B.是奇函数

C. D.是偶函数是偶函数

则上的奇函数的值已知定义在 6.,满足( )为

A.-1

B.0

C.1

D.2

且)的图象关(7.的图象与函数已知函数

若在区间,于直线对称记上.是增函数,则实数的取值范围是( )

D. C. B. A.

上是理)如果函数8.(在区间( )的取值范围是,那么实数增函数

. AC.DB ..

上可导的任意函数,则必有9.,对于若满足( )

B.C. A.

D.

,则10.( )已知

D. B.A. C.

若为奇函数,则已知函数, 11. .

当. 已知函数上的偶函数是定义在12.

时,时,,则当 .

且,则方程13.上的以3为周期的偶函数,是定义在

=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )

A.5

B.4

C.3

D.2

又在区间上单调递减的是下列函数既是奇函数14.,( )

D. A.

C.B.

则该函数在上是, 15.( )若函数

A.单调递减无最小值

B.单调递减有最小值

C.单调递增无最大值

D.单调递增有最大值

在区间内单调递增16.,若函数

( )则的取值范围是

D. C. B.A.

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