高斯小学奥数含答案三年级(上)第21讲等差数列求和
第二十一讲等差数列求和
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对于一个等差数列而言，除了它的首项、公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非常重要的．
在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法．以1+ 2 + 3 + 4+ 5+ 6 + 7 + 8 + 9 为例：
先把数列正着写一遍：
1 +
2 +
3 +
4 +
5 +
6 +
7 +
8 + 9
+
再把数列反着写一遍：9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项(1+ 9) ，而
(9) 那么多对，所以所有数之和等于：
且共有项数
首项末项项数
因为我们把原来的等差数列写了 2 遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的 2 倍，于是可以6
得到等差数列求和公式：
和首项末项项数
2
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例题 1
计算下列各题：
（1）3+ 6 + 9 + 12 + 15+ 18+ 21+ 24 + 27+ 30 ；
（2）41+ 37 + 33+ 29 + 25 + 21+ 17 + 13+ 9+ 5+ 1 ．
分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？
练习1
计算： 6 + 11+ 16+ 21+ 26+ 31+ 36 + 41+ 46 ．
例题 2
计算下列各题：
（1）5 + 11+ 17 + L + 77 + 83 ；
（2）82 77 72 12 7 ．
分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．
练习2
计算：100 92 84 L 12 ．
例题 3
计算下列各题：
（1）12 + 18+ 24 + L
144444442 4444443 ；
共项
10
（2）193 + 187 + 181 +L
1444444424 444444434．
共项
13
分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．
7
练习3
计算：10+ 13 + 16 + L
43．
14444444244444
共项
12
例题 4
萱萱读一本课外书，第一天读了15 页，以后每天都比前一天多读 3 页，最后一天读了36 页，刚好把书读完．请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？
练习4
暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200 米，以后每一天都比前一天多游50 米，最后一天游了600 米，请问：小高这些天里一共游了多少米？
例题 5
小华把一些珠子放在桌子上的15 个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差
数列，并且从左数第8 个盒子中有24 颗珠子，请问：这15 个盒子中一共有多少颗珠子？
分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？
例题 6
小明从 1 开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007．小刚也从 1 开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007．请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？
分析：等差数列求和接近2007 时，这个等差数列的最后一项是几？
8
课堂内外
高斯的故事
高斯是一对普通夫妇的儿子．他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲．在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作．他的父亲
曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师．高斯三岁时便能够纠正他父亲的
借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今．他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算．能够在头
脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋．
高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从 1 到100 的求和．他所使用的方法是：对50对构造成和101 的数列求和（1+100，2+99，3+98??），同时得到结果：5050．这
一年，高斯9岁．父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢
凭自己的经验为年幼的高斯规划人生．高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格．在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）．弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就．他
发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力．若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成
才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”．正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园
丁或者泥瓦匠．
在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲．罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了．她性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感．高斯一生下来，
就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范
围．当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无
知．
作业
1.计算：70 + 67 + 64 + 61+ 58+ 55 + 52+ 49 ．
2.计算：11+ 18 + 25+ L + 102 ．
5148 4412141 4443L
3.计算：．
共项
31
9
4. 一个等差数列的首项是21，从第二项起每一项都比前一项大2，它的前20 项之和是多少？
5. 馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第 5 周吃了18 根香蕉．馋嘴猴前
9 周一共吃了多少根香蕉？
10
第二十一讲等差数列求和
1. 例题1
答案：（1）165；（2）231
详解：（1）3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 = (3 + 30)锤10 2 = 165 ．
（2）41 + 37 + 33 + 29 + 25 + 21 + 17 + 13 + 9 + 5 + 1 = (41 + 1)锤11 2 = 231 ．
2. 例题2
答案：（1）616；（2）712
详解：（1）先求项数= (83 - 5) ? 6 1= 14 ，再求和：原式= (5+ 83)锤14 2 = 616 ．
（2）先求项数=(82 - 7) ? 5 1= 16 ，原式82 7 16 2 712 ．
3. 例题3
答案：（1）390；（2）2041
详解：（1）先求末项=12 + (10 - 1)? 6 66 ，原式= 12 + 18 + L + 66 = (12 + 66)锤10 2 = 390 ．
（2）先求末项=193 - (13 - 1)? 6 121 ，原式= 193 + 187 + L + 121 = (193 + 121)锤13 2 = 2041 ．
4. 例题4
答案：（1）8 天；（2）204 页
详解：先求项数，即多少天=(36 - 15) ? 3 1= 8天，15 + 18 + 鬃? 36 = (15 + 36)锤8 2 = 204 ，
即共有204 页．
5. 例题5
答案：360 颗
详解：利用中间数×项数，共有15? 24 360 颗．
6. 例题6
答案：63
详解：1 + 2 + 3 + L + 62 = 1953 ，1 + 2 + 3+ L + 63 = 2016 ，则多加的数为2007 -1953 = 54 ，则
漏加的数为2016 - 2007 = 9 ，则被重复计算和漏掉的两数之和为54 + 9= 63 ．
7. 练习1
答案：234
简答： 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 + 41 + 46 = (6 + 46)锤9 2 = 234 ．
8. 练习2
答案：672
简答：先求项数= (100 - 12) ? 8 1 = 12 ，原式100 12 12 2 672 ．
9. 练习3
答案：318
．简答：先求末项=10 + (12 - 1)? 3 43 ，1404+44143+ 16 + L = (10 + 43)锤12 2 = 318
42 4444443
共项
12
10. 练习4
11
答案：3600 米
简答：先求项数，有(600 - 200) ? 50 1=9 天，200 + 250 + 鬃? 600 = (200 + 600 )锤9 2 = 3600 ，
即共游了3600 米．
11. 作业1
答案：476
简答：首项为70，末项为49，项数为8．原式(70 49) 8 2 476 ．
12. 作业2
答案：791
简答：项数为(102 11) 7 1 14 ，和为(102 11) 14 2 791 ．
13. 作业3
答案：1550
简答：末项为 5 30 3 95，和为(5 95) 31 2 1550 ．
14. 作业4
答案：800
简答：公差为2，第20 项为21 19 2 59 ，和为(21 59) 20 2 800 ．
15. 作业5
答案：162 根
简答：前9 项的中间项是第 5 项．所以前9 项和为18 9 162 ．
12
小学奥数--四年级高斯求和(学生版)6份
高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 项数=（末项-首项）÷公差+1。 末项=首项+公差×（项数-1）。 对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理
【例题讲解及思维拓展训练】 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 【思维拓展训练一】 1、11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 2、3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例2 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 【思维拓展训练二】 1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。 例3 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表： 由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。
2109年小学四年级奥数经典30讲
2109年小学四年级奥数经典30讲 目录 第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三）
第19将乘法原理 第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）
第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：
小学奥数五年级精讲选讲1 等差数列求和
选讲1 等差数列求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习4：计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270
小学奥数训练题 等差数列与高斯求和(无答案)
等差数列与高斯求和 1、计算下列各题： （1）11＋14＋17＋ (101) （2）2＋6＋10＋ (90) （3）297＋293＋289＋ (209) （4）193＋187＋181＋ (103) （5）1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70； （6）2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋…＋92＋94＋98＋100； （7）1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋103＋102－101。 2、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5个数。 3、在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？ 4、左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？ 5、有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。问：这堆圆木共有多少根？ 6、在上题中，如果最下面一层有98根，这堆圆木共有2706根，那么共堆了多少层？ 7、用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？ 8、某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。问：这个剧院一共有多少个座位？ 9、小明从1月1日开始写大字，第1天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？ 10、一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。问：最上面一层放了几本
书？ 11、学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛。问：有多少人参加了选拨赛？ 12、跳棋棋盘（如左下图）上一共有多少个棋孔？ 13、右上图中的正六边形棋盘上共有多少个棋孔？ 14、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形按左下图所示铺满一个大的等边三角形，已知这个大的等边三角形的底边放有10根火柴，那么一共要用多少根火柴？ 15、有一个六边形点阵（右上图），它的中心是一个点，看做第1层，第2层每边2个点，第3层每边3个点……这个六边形点阵共100层。问：这个点阵共有多少个点？ 16、求前100个既能被2整除又能被3整除的数之和。 17、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 18、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？ 19、在1～200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？ 20、求所有加6以后能被11整除的三位数的和。 21、在所有的两位数中，十位数字比个位数字小的两位数有多少个？ 22、一个数列有11个数，中间一个数最大。从中间的数往前数，一个数比一个数小2；从中间的数往后数，一个数比一个数小3。这11个数的总和是200，那么中间的数是几？
三年级奥数等差数列求和习题及答案
计算（三）等差数列求和 知识精讲 一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用n S 来表示 。 三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。 四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均 数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘 以项数。 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于 3333?。 例题精讲： 例1：求和： （1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85)
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21 （2）36 （3）1247 例2：求下列各等差数列的和。 （1）1+2+3+4+…+199 （2）2+4+6+…+78 （3）3+7+11+15+…+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355 例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？ 分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数， 即为：8756 ?= 答案：56 例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。 分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有： 和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列） 德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题 让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案 等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广 泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中 第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末 项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加 数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时 就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，能够得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。
奥数 高斯求和
奥数高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。
四年级奥数等差数列求和一
＊数学故事： 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题 目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+......+98+99+100= 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那 个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法...... 老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50 对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华 使老师——彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。 此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基 米德、牛顿并列，同享盛名。 ＊数列的基本知识： （1）1、2、3、4、5、6……公差：（2）2、4、6、8、10、12……公差： （3）5、10、15、20、25、30……公差： 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项 数；通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是 相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 通项公式：某一项=首项+（项数-1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差 + 1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例题1：已知数列2、5、8、11、14……求它的第10项是多少它的第98项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是10.要求第10项，可根据， 某一项=首项+（项数-1）×公差进行计算。第10项：2+3×（10-1）=29 第98项： 2+3 ×（98-1）=293 练习1：某一项=首项+（项数-1）×公差 （1）求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21项是多少 （2）求等差数列：2、6、10、14、18……它的第60项是多少 （3）求等差数列：7、12、17、22……它的第100项是多少 例题2：已知数列2、5、8、11、14……35，这个数列共有多少项
四年级奥数-高斯求和
第3讲高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到 等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
三年级奥数简单数阵与幻方
数阵与幻方 【知识点与方法】 一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。 二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。然后对称找和相等的成对的项。 【经典例题】 例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。 例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。 例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。 例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 练习与思考
1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。 （2题图） （3题图a） （3题图b） 3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法) 4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。 （4题图） （5题图） 5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
三年级奥数等差数列求和习题及标准答案
三年级奥数等差数列求和习题及答案
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计算（三）等差数列求和 知识精讲 一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用n S 来表示 。 三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。 四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的 平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于 中间项乘以项数。 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等 于3333?。 例题精讲： 例1：求和： （1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85)
小升初奥数讲义习题 第4讲 高斯求和、新定义
高斯求和、新定义 一、高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？ 和=（首项+末项）×项数÷2；（项数=（末项-首项）÷公差+1） 例1、1＋2＋3＋...＋1999＝11＋12＋13＋...＋31＝3＋7＋11＋ (99) 例2、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 举一反三、数一数图中各有多少个三角形。 例3、求100以内除以3余2的所有数的和。
举一反三、在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？ 例4、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 举一反三、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？ 【巩固练习】 1、计算下图中，共有多少个长方形。 2、奥数6班开学第一天每两位同学互相握手一次，全班10人，共握手多少次？
二、定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 例1、对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b 。求12*4的值。 举一反三、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。 例题2、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么 7*4=________；210*2=________；4*4=________。 举一反三、如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝________。 例题3、规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果 A ?=⑧ ⑦⑥1 1-1,那么，A 是几？ 举一反三、设a ⊙b=4a －2b+ab 2，求x ⊙（4⊙1）＝52中的未知数x 。
四年级奥数高斯求和
第1讲高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为，末项为，公差为的等差数列； （2）是首项为，末项为，公差为的等差数列； （3）是首项为，末项为，公差为的等差数列；
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理 【例题讲解及思维拓展训练】 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 【思维拓展训练一】 1、11＋12＋13＋…＋31＝？ 2、3＋7＋11＋…＋99＝？ 例2（2+4+6+......+2012）-（1+3+5+ (2011) 【思维拓展训练二】 1、（7+9+11+......+25）-（5+7+9+ (23) 2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60
例3 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 【思维拓展训练三】 1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和 【思维拓展训练四】 1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？ 2、在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和 德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 ]例1 1＋2＋3＋ (1999) 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋ (31) 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋ (99) 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
奥数题库(三年级)等差数列2求和
配对求和 1、13+17+21+25+29+33+37+41=__________． 2、32+34+36+38+40+42+44+46+48+50=__________． 3、21+24+27+30+33+36+39+42+45=__________． 4、3+7+11+15+……，等差数列共12项，那么这12项的和是__________． 5、4+7+10+13+……，等差数列共20项，那么这20项的和是__________． 6、94+88+82+……，等差数列共14项，那么这14项的和是__________． 7、计算：5+7+9+……+53+55=__________． 8、计算：13+19+25+……+67+73=__________． 9、计算：90+83+76+……+34+27=__________． 10、文雯为了增肥，计划每天吃包子，第一天她吃了5个包子，以后每天都比前一天多吃3个包子，最后一天吃了32个包子．那么文雯一共吃了_____天包子，共吃了_____个包子． 11、雁雁为了减肥，计划每天做仰卧起坐，第一天她做了5个，以后每一天都比前一天多做2个，最后一天做了95个．那么雁雁一共做了_____天的仰卧起坐，共做了_____个仰卧起坐． 12.旦旦练习跳绳，第一天跳绳3次，以后每一天都比前一天多跳4次，最后一天跳绳39次．那么旦旦跳绳跳了_____天，共跳绳_____次． 利用中间数求和 1.一个等差数列共15项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 2.一个等差数列共9项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 3.一个等差数列共13项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 4.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了20根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了__________根香蕉． 5.旦旦很喜欢吃包子，她每天吃的包子数成等差数列，已知她第6天吃了30个包子，那么旦旦前11天一共吃了__________个包子． 6.雁雁很喜欢吃鸡蛋，她每天吃的鸡蛋数成等差数列，已知她第4天吃了10个鸡蛋，那么雁雁前7天共吃了__________个鸡蛋． 7.一个等差数列共9项，和等于180，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 . 8.一个等差数列共7项，和等于210，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 .
小学数学奥数趣题计算
1．钟声 小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。 假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？ 2．越减越多 同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去1个角，还剩几个角？”这种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。 图1 以上3幅示意图，表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣，长方形原有4个角，切去了1个角，反而多了1个角，出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。 “一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是立体的“角”，它不同于平面上的角。 3．数一数 如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何图形的个数。 4．画一画 下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画） 5．最短的路线 养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下图）。为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又
不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。 6．切西瓜 六（1）班召开夏夜乘凉晚会，买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定，西瓜只能竖切，不能横剖。大家知道，切一刀最多分成2块，切2刀最分成多4块，那么切3刀最多能分成几块？切4刀、切5刀、切6刀呢？这中间有没有规律？如果有规律，请同学们找出来。”李老师刚说完，同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。 7．均分承包田 有一块等腰梯形菜地（如下图），地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提出要承包这块地。经研究，决定让这3户共同承包这块地，因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的3块地。你能帮助解决这个问题吗？ 8．巧分食盐水 大家在常识课上认识了量杯。快下课时，王老师让我们用手中的量杯做一个智力小游戏： 有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个，请你用这三个量杯把水槽中的100毫升食盐水平均分成两份，但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试，至少要分几次才成？ 9．扩大鱼池 养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如下图），喜获丰收。为了进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：①扩大后的鱼池必须仍是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍；③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗？ 10．巧妙的算法（一） 请你仔细观察上面这些算式，试着找出某种规律，并利用这个规律迅速算出下面式子的答案： （1）1+3+5+7+9+11+13+15 （2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25
奥数专题：等差数列求和
等差数列求和（一） 小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗——数中的规律。那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！ 我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。像这样的数列我们将它称之为等差数列。 我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1 典型例题 例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。 分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（1＋1999）×1999÷2 ＝2000×1999÷2 ＝1000×1999
＝1999000 例【2】求111＋112＋113＋……＋288＋289的和。 分析首项a＝111，末项b＝289，公差d＝1，项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（111＋289）×179÷2 ＝400×179÷2 ＝200×179 ＝35800 例【3】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。 分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（2＋198）×99÷2 ＝200×99÷2 ＝100×99 ＝9900
高斯求和问题奥数
1、板书：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 2、围绕这一道数学题目，一直流传着这样一个故事。故事的主人翁是高斯，高斯是德国乃至世界著名的数学家，有着“数学王子”的美誉。高斯8岁时聪明过人，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案。 现在请同学们计算一下这道题目。 3、讲解 方法一：配对求和 方法二：倒序相加 方法三：公式法 介绍等差数列：小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9； 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为9，公差为2的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 分析与解：这串加数1，2，3，…，10是等差数列，首项是1，末项是10，共有10个数。由等差数列求和公式可得原式=（1＋10）×10÷2＝55。 例2：计算：1+2+3+4+…+29+30 例3：1+3+5+7+…+97+99 练习： 1.计算：1+2+3+4+…+18+19 2.计算：2+4+6+8+…+98+100 3. 计算11＋12＋13＋ (31) 4.有一串数，共有16个，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90。这串数连加，和是多少？ 5.一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。这堆圆共多少根？
小学奥数《等差数列公式》及其练习
等差数列练习 知识点 1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项ΛΛ以此类推，最后一个数叫做 这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2， 4，6，8，Λ，100 2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d Λ 例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么） 练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：d n a a n ?-+=)1(1 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：1)(1+÷-=d a a n n （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：()21321÷?+=+++n a a a a a a n n Λ
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 例1：求等差数列3，5，7，Λ的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。 【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项 1a =3，公差d=2，直接代入通项公式，即可求得 21293)110(110=?+=?-+=d a a ，2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a . 同样的，我们知道了首项3，末项201以及项数100，利用等差数列求和公式即可求和：3+5+7+Λ201=（3+201）?100÷2=10200. 解：由已知首项 1a =3，公差d=2， 所以由通项公式d n a a n ?-+=)1(1，得到21293)110(110=?+=?-+=d a a 2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a 。 同理，由已知，1a =3，100a =201，项数n=100 代入求和公式得3+5+7+Λ201=（3+201）?100÷2=10200. 练习2：1、求出你已经写出的等差数列的各项和。 2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项 3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少 4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少 例2：在211、2 12两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。 解：根据第几项＝首项＋（项数－1）×公差，