平面与平面之间的位置关系(附答案)

平面与平面之间得位置关系

[学习目标]１、了解直线与平面之间得三种位置关系,会用图形语言与符号语言表示、2。了解平面与平面之间得两种位置关系,会用符号语言与图形语言表示。

知识点一直线与平面得位置关系

1。直线与平面得位置关系

(1)按公共点个数分类

错误!

(2)按直线就是否在平面内分类

错误!

思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”就是相同得意义吗？

答不就是、前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行、

知识点二两个平面得位置关系

答这两条直线没有公共点,故它们得位置关系就是平行或异面.

题型一直线与平面得位置关系

例1 下列命题中,正确命题得个数就是( )

①如果ａ,b就是两条直线,a∥ｂ,那么a平行于经过b得任何一个平面;

②如果直线a与平面α满足a∥α,那么a与平面α内得任何一条直线平行;

③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥ｂ;

④如果平面α得同侧有两点A,B到平面α得距离相等,那么ＡB∥α。

A、0 B.2Ｃ、1 D.3

答案C

解析如图,在长方体ABCD—A′B′Ｃ′D′中,

AA′∥BＢ′,ＡA′却在过BＢ′得平面ＡＢ′内,故命题①不正确;AA′∥平面B′C,BＣ?平面B′C,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面B′Ｃ,Ａ′D′∥平面Ｂ′C,但ＡＡ′与Ａ′D′相交,所以③不正确;④显然正确.故答案为C、

跟踪训练1 以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b?α,则ａ∥α;②若a∥α,ｂ∥α,则ａ∥ｂ;③若ａ∥b,b∥α,则ａ∥α;④若ａ∥α,ｂ?α,则ａ∥b、其中正确命题得个数就是()

A。０B、1C、２D。3

答案A

解析如图所示在长方体ABCD－A′B′Ｃ′D′中,AＢ∥CD,AB?平面ABCD,但ＣD?平面ABＣＤ,故①错误;

A′Ｂ′∥平面ＡBCD,B′C′∥平面ＡBＣD,但A′Ｂ′与B′C′相交,故②错误;

AＢ∥A′B′,A′B′∥平面ＡＢＣD,但ＡB?平面ＡBCD,故③错误;

A′B′∥平面ABCD,BC?平面ABＣD,但A′B′与BC异面,故④错误、

题型二平面与平面得位置关系

例２以下四个命题中,正确得命题有( )

①在平面α内有两条直线与平面β平行,那么这两个平面平行;

②在平面α内有无数条直线与平面β平行,那么这两个平面平行;

③平面α内△AＢC得三个顶点在平面β得同一侧面且到平面β得距离相等且不为0,那么这两个平面平行;

④平面α内两条相交直线与平面β内两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行.

A.③④B。②③④C。②④ D.①④

答案 A

解析当两个平面相交时,一个平面内有无数条直线平行于它们得交线,即平行另一个平面,所以①②错误.

跟踪训练2两平面α,β平行,a?α,下列四个命题:

①a与β内得所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;

③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④ａ与β没有公共点.

其中正确得个数就是( )

A。１B。２Ｃ、3 Ｄ、4

答案B

解析①错误,ａ不就是与β内得所有直线平行,而就是与β内得无数条直线平行,有一些就是异面;②正确;③错误,直线a与β内无数条直线垂直;④根据定义,a与β没有公共点,正确。

分类讨论思想

例3 在正方体ABＣD－A１B１C1D１中,点Q就是棱ＤＤ１上得动点,判断过Ａ,Ｑ,Ｂ１三点得截面图形得形状。

分析决定过Ａ,Q,B１三点得截面图形得形状得因素就是动点Q,所以要对点Ｑ得位置进行分类讨论、

解由于点Ｑ就是线段DＤ１上得动点,故①当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形ＡB1D1,如图:

②当点Q与点Ｄ重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图:

③当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为等腰梯形AQRB1,如图:

1。如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内得()

A、一条直线不相交B。两条直线不相交

C、无数条直线不相交

D、任意一条直线不相交

2、下列命题中,正确得命题就是()

A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α

B、若a∥α,则直线a与平面α内任意一条直线都平行

C。若a?α,则a与α有无数个公共点

D、若a?α,则a与α没有公共点

3.下列命题中,正确得有( )

①平行于同一直线得两条直线平行;②平行于同一个平面得两条直线平行;③平行于同一条直线得两个平面平行;④平行于同一个平面得两个平面平行。

A、1个B。2个 C.3个D。４个

4.与两个相交平面得交线平行得直线与这两个平面得位置关系就是()

A、都平行B。都相交

C.在两个平面内D。至少与其中一个平面平行

5、下列命题:

①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;

②若ｌ,m就是异面直线,ｌ∥α,m∥β,则α∥β、

其中错误命题得序号为_＿_＿＿＿__。

一、选择题

1、若a,b就是异面直线,且a∥平面α,则b与α得位置关系就是( )

A、ｂ∥α?Ｂ.相交

C、b?α D.b?α、相交或平行

2。与同一平面平行得两条直线()

A。平行?B。相交

C.异面Ｄ。平行、相交或异面

３。若直线a不平行于平面α,则下列结论成立得就是( )

A.α内得所有直线均与a异面B。α内不存在与ａ平行得直线C。α内得直线均与a相交 D.直线ａ与平面α有公共点

4.以下四个命题:

①三个平面最多可以把空间分成八部分;

②若直线a?平面α,直线b?平面β,则“a与ｂ相交”与“α与β相交”等价;

③若α∩β＝l,直线ａ?平面α,直线ｂ?平面β,且a∩b=P,则P∈ｌ;

④若n条直线中任意两条共面,则它们共面、

其中正确得就是()

A、①② B.②③C。③④D。①③

５、过平面外一条直线作平面得平行平面()

A。必定可以并且只可以作一个B。至少可以作一个

C、至多可以作一个

D、一定不能作

６。下列命题正确得就是( )

①两个平面平行,这两个平面内得直线都平行;

②两个平面平行,其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面;

③两个平面平行,其中一个平面内一条直线与另一个平面内得无数条直线平行;

④两个平面平行,各任取两平面得一条直线,它们不相交、

A.①Ｂ、②③④Ｃ.①②③Ｄ、①④

7、在长方体AＢCＤA1B１Ｃ１D1得六个表面与六个对角面(面ＡA1C1C、面AＢＣ1D1、面ＡDC１Ｂ1、面BB１Ｄ１D、面Ａ1ＢＣＤ１及面Ａ1B1ＣD)所在得平面中,与棱AA1平行得平面共有( )

A.2个B。3个Ｃ。4个D。５个

二、填空题

8。如果空间得三个平面两两相交,则下列判断正确得就是___＿_＿＿_(填序号)。

①不可能只有两条交线; ②必相交于一点;

③必相交于一条直线; ④必相交于三条平行线.

９、下列命题正确得就是＿__＿____。

①如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内得无数条直线垂直;②若直线ａ与平面α与平面β都平行,那么α∥β;③若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∩β＝b,a?α,则a与β一定相交、

10.给出下列几个说法:

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;

③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;

④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行。

其中正确有＿_＿＿＿__＿个。

三、解答题

１1.如图,平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ＝a,β∩γ=b,判断a与b、ａ与β得关系并证明您得结论、

1２。如图,已知平面α∩β＝l,点A∈α,点Ｂ∈α,点C∈β,且A?ｌ,B?ｌ,直线AB与l不平行,那么平面ＡＢC与平面β得交线与l有什么关系？证明您得结论.

当堂检测答案

1。答案Ｄ

解析直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内得直线当然均无公共点、

2、答案 C

解析对于A,直线a与平面α有可能相交,所以A错;对于B,平面α内得直线与直线ａ可能平行,也可能异面,所以B错;对于D,因为直线a与平面α可能相交,此时有一个公共点,所以Ｄ错。

3.答案B

解析②中,也有可能就是相交或异面,故②错误;③中,存在平行于两个相交平面得交线,且不在两个平面内得直线,故③错误。

4.答案 D

解析这条直线与两个平面得交线平行,有两种情形,其一就是分别与这两个平面平行,其二就是在一个平面内且平行于另一个平面,符合至少与一个平面平行。

5、答案①②

解析对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ＡＢCD—A1B1Ｃ1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1Ｃ1异面,而平面DCC1Ｄ1与平面AＡ1Ｄ１D相交,故②错误.

课时精练答案

一、选择题

1.答案D

解析如图所示,选D、

2。答案D

解析与同一平面平行得两条直线得位置关系有三种情况:平行、相交或异面。

3、答案D

解析若直线a不平行平面α,则a∩α＝A或ａ?α,故Ｄ项正确、

4、答案 D

解析对于①,正确;对于②,逆推“α与β相交”推不出“a与b相交",也可能a∥b;对于③,正确;对于④,反例:正方体得侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故④错。所以正确得就是①③、

５.答案 C

解析因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交与直线与平面平行。当直线与平面相交时,不能作出符合题意得平面;当直线与平面平行时,可作出惟一得一个符合题意得平面、

６。答案B

解析①不正确,因为这两条直线可能就是异面;②③④都正确,可根据线面平行得定义或面面平行得定义或观察几何体模型进行判断。

７.答案 B

解析如图所示,结合图形可知AＡ1∥平面BB１C１Ｃ,AA１∥平面ＤD1Ｃ1C,ＡA1∥平面BＢ1ＤＤ.

1

二、填空题

8。答案①

解析空间得三个平面两两相交,可能只有一条交线,也可能有三条交线,这三条交线可能交于一点.

9、答案①③

解析对于①,如图,∴命题①正确;对于②,α、β也可能相交,②不正确;

对于③,若a与ｂ相交,则α与β相交与条件矛盾,③正确;

对于④,当ａ与b重合时,ａ在β内;当a∥b时,a∥β;当a与b相交时,ａ与β相交,④不正确.

1０。答案 1

解析①当点在已知直线上时,不存在过该点得直线与已知直线平行,故①错误;②由于垂直包括相交垂直与异面垂直,因而过一点与已知直线垂直得直线有无数条,故②错误;③过棱柱得上底面内得一点任意作一条直线都与棱柱得下底面平行,所以过平面外一点与已知平面平行得直线有无数条,故③错误;④过平面外一点与已知平面平行得平面有且只有一个,故④正确、

三、解答题

11.解ａ∥b,ａ∥β、证明如下:

由α∩γ=a知a?α且a?γ,

由β∩γ＝b知ｂ?β且b?γ,

∵α∥β,a?α,b?β,

∴a、b无公共点。

又∵a?γ且b?γ,∴ａ∥b。

∵α∥β,∴α与β无公共点、

又a?α,∴a与β无公共点,∴a∥β。

12。解平面ABC与β得交线与l相交、证明如下:

∵ＡB与l不平行,且AB?α,l?α,

∴AB与l一定相交。设AB∩l＝P,

则P∈AB,P∈l、

又∵AB?平面ABC,ｌ?β,

∴P∈平面ABC,P∈β。

∴点P就是平面ＡBC与β得一个公共点,而点Ｃ也就是平面ABC与β得一个公共点,且P,C 就是不同得两点,

∴直线PC就就是平面ABC与β得交线, 即平面ABＣ∩β=PC,而PC∩l=Ｐ,

∴平面AＢC与β得交线与ｌ相交、