初中数学竞赛试题及答案(免费)5

“ 《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛

试题参考答案及评分标准

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）

（1）已知实数x y ，满足 42424233y y x x

-=+=，，则444y x +的值为（ A ）．

（A ）7 （B ） （C ） （D ）5 解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得

21x ==， 2y ==， 所以444y x +=22233y x ++-2226y x

=-+=7． （2）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为n m ,，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴

有两个不同交点的概率是（ C ）．

（A ）512 （B ）49 （C ）1736

（D ）12 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.

由题意知?＝24m n -＞0，即2m ＞4n .

通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736

P =. （3）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．

（A ）6条 （B ） 8条 （C ）

10条 （D ）12条

解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，

两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点

E ，

F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与

BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．

（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D

为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的

延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）．

（A （B ）1

（C （D ）a 解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，

则120ECA EAC α∠=?-=∠． 又因为()1160180222

ABO ABD α∠=

∠=?+?-120α=?-， 所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． （5）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意

连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ D ）．

（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种

解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．

首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，

否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．

又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，

这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，

除非接的这个奇数是最后一个数．

所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：

2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；

4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

（6）对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程

1()4

x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．

【答】0a >，或1a <-．

解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04

a x a x ++++=， 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠???=+-+>?，

，解得，0a >，或1a <-．

（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟

从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．

【答】4．

解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻

两车的间距为s 米．

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以 4=x

s ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．

（8）如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．

【答】9．

解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，

则MN ∥AB ．又//MF AD ，

所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，

所以 12

FN MN AB ==

． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． （9）△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与

AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ． 【答】163

．

解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为a h ， 则11()22

a ABC ah S a

b

c r ==++△， 所以 a r a h a b c

=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，

因此 a a h r DE h BC

-=， 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=

?=-=-++()a b c a b c +=++， 故879168793

DE ?+==++（）． （10）关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．

【答】481603232.

x x y y ==????==??，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．

设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，

同上可知，b a ,都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，

所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，

于是22(13)(13)s t -++＝2213?，其中s ，t 都是偶数．

所以222(13)213(13)s t -=?-+≤222

2131511?-<． 所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2

(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2

(13)t +＝289，从而13s -＝7．有62044s s t t ==????==??，，；，故 481603232.x x y y ==????==??，，， 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

（11）在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正

半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．

（Ⅰ）用b 表示k ；

（Ⅱ）求△OAB 面积的最小值．

解：（Ⅰ）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00b x k k

=-><，． 所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b

A

B b k

-（，，，， 于是，△OAB 的面积为)(21k

b b S -?=． 由题意，有 3)(21++-=-?b k b k b b ， 解得 )

3(222

+-=b b b k ，2b >． …………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

21(3)(2)7(2)10()222

b b b b b S b k b b +-+-+=?-==--

21027)72b b =-++=++-1027+，

当且仅当1022b b -=

-时， 有S = 即当102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．

所以，△OAB 面积的最小值1027+． ……………… 15分

（12）已知一次函数12y x =，二次函数2

21y x =+． 是否存在二次函数

23y ax bx c =++，其图象经过点（－5，2）

，且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值1y ，2y ，3y ，都有1y ≤3y ≤2y 成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．

解：存在满足条件的二次函数．

因为 2122(1)y y x x -=-+2

21x x =-+-2(1)x =--≤0，

所以，当自变量x 取任意实数时，1y ≤2y 均成立．

由已知，二次函数23y ax bx c =++的图象经过点（－5，2），

得2552a b c -+=． ①

当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++．

由于对于自变量x 取任意实数时，1y ≤3y ≤2y 均成立，

所以有2 ≤a b c ++≤2，故2a b c ++=． ②

由①，②，得 4b a =，25c a =-，所以234(25)y ax ax a =++-．……… 5分 当1y ≤3y 时，有 2x ≤24(25)ax ax a ++-，

即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0，

所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零， 故20(42)4(25)0a a a a >??---≤?，． 即20(31)0,

a a >??-≤?，所以13a =．……………… 10分 当3y ≤2y 时， 有 24(25)ax ax a ++-≤2

1x +， 即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0，

所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零， 故210(4)4(1)(51)0a a a a ->??----≤?，

． 即21(31)0,a a

所以 13

a =． 综上，13a =，443

b a ==， 1253

c a =-=． 所以，存在二次函数23141333y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有1y ≤3y ≤2y 成立． ……………… 15分

（13）是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=

有有理数根？

解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224q p n ?=-=，

其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．

因此，有如下几种可能情形：

222q n q n p -=??+=?，， 24q n q n p -=??+=?，， 4q n p q n p -=??+=?，， 22q n p q n p -=??+=?，， 24.

q n p q n ?-=?+=?， 消去n ， 解得22

2

51222222p p p q p q q q p q =+=+===+， ， ， ， ． ……………… 10分

对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；

对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4（不合题意，舍去）；

对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．

又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为12122

x x ==，，它们都是有理数．

综上所述，存在满足题设的质数． ……………… 15分

（14）如图，△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ， 的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90GIC ∠=?．求△ABC 的周长．

解：如图，延长GI ，与边BC CA ，分

别交于P Q ，．

设重心G 在边BC CA ，上的投影分别

为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，

BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，

由PQC GPC GQC S S S =+△△△， 可得()123a b r GE GF h h =+=

+， 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ???=?+ ?++??

△△△， 从而可得 6ab a b c a b

++=+． ……………… 10分

因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合，

所以，△ABC 不是正三角形，且b a ≠，否则，2a b ==，可得2c =，矛盾． 不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，， 于是，有1111

126a b ab a b a b =++为整数， 所以有11()12a b +，即()24a b +．

于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满足条件．

因此有35a b c ++=．

所以，△ABC 的周长为35． ……………… 15分

扫描下面二维码，加关注，索取全套题库！