南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校2020届高三年级第四次模拟考试

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2020届高三年级第四次模拟考试

数学Ⅰ

参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高；

锥体的体积1

3

V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；

圆锥的侧面积S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合{}02|A x x =≤<，集合{}1,0,1,2B =-，则A

B =________．

2．已知复数12i z =+（i 为虚数单位），则2z 的实部为________．

3．某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，现用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高三年级抽取的学生的人数为________．

4．运行右图所示的伪代码，输出的T 的值为________．

5．从集合122,3,,23?

?????

中取两个不同的数a ，b ，则log 0a b >的概率为________．

6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2

2

210y x b b

-=>的一个焦点到一条渐

近线的距离为3，则此双曲线的离心率为________．

7．已知4cos sin 65παα??+-= ???，则7sin 6πα?

?+ ??

?的值为________．

8．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20101030201

3

S S S S -=-，则数列{}n a 的公

比为________．

9．在平面直角坐标系xOy 中，过直线2y x =上一点P 作圆()()2

2

:311C x y -+-=的切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．若直线P A ，PB 关于直线2y x =对称，则线段P A 的长度为________．

10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为11,V S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为22,V S ，若

123V V π=，则12

S

S 的值为________．

11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()25f x x x =-，则不等式()()2f x f x ->的解集为________．

12．已知函数()

02,

2,

2x f x f x x ≤<=-≥??若对于正数()

*n k n ∈N ，直线

n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n +个不同的交点，则数列{}2

n k 的前n 项

和为________．

13．设H 为△ABC 的垂心（三角形三条高的交点），且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠的值为________． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R ．已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ∥CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =。 （1）求证：AB ∥平面11D DCC ； （2）求证：AB ⊥平面1A BC ．

16．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos 5

A =． （1）若△ABC 的面积为3，求A

B A

C ?的值；

（2）设2sin ,1,cos ,cos 22B B B ???

?== ? ????

?m n ，且∥m n ，求()sin 2B C -的值．

17．（本小题满分14分）

如图，海岸公路MN 的北方有一个小岛A （大小忽略不计）盛产海产品，在公路

MN 的B 处有一个海产品集散中心，点C 在B 的正西方向10km 处，4

t

n 3

a ABC ∠=

，

4

ACM π

∠=

，计划开辟一条运输线将小岛的海产品运送到集散中心．现有两种方案：①沿线段AB 开辟海上航线：②在海岸公路MN 上选一点P 建一个码头，先从海上运到码头，再公路MN 运送到集散中心．已知海上运输、岸上运输费用分别为400元/km 、200元/km ． （1）求方案①的运输费用；

（2）请确定P 点的位置，使得按方案②运送时运输费用最低？

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过31,2?

?- ??

?，且右焦

点坐标为()1,0．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设A ，B 为椭圆的左，右顶点，C 为椭圆的上顶点，P 为椭圆上任意一点（异于A ，B 两点），直线AC 与直线BP 相交于点M ，直线BC 与直线AP 相交于点N ，求证：MC NC =． 19．（本小题满分16分） 已知函数()()1

ln 1

x f x x a a x -=-?

∈+R ． （1）若2x =是函数()f x 的极值点，求a 的值；

（2）令()()()1g x x f x =+?，若对任意e x ≥，有()0g x >恒成立，求a 的取值范围；

（3）设m ，n 为实数，且m n >，求证：2

e e e e e 2

m n

m n m n

m n +-+<<

-． 20．（本小题满分16分）

若存在常数m ∈R ，使对任意的*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列．

（1）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ．若n S 是()1Z 数列，求1a 的取值范围；

（2）已知数列{}n b 的各项均为正数，记数列{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}

2n b 的

前n 项和为n T ，且2

*34,n n

n T R R n =+∈N ．

①求证：数列{}n b 是等比数列； ②设()1

n n n

n c b b λλ-=+

∈R ，试证明．存在常数m ∈R ，对于任意的[]2,3λ∈，

数列{}n c 都是()Z m 数列，并求出m 的最大值．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A （选修4-2矩阵与变换

已知,b c ∈R ，向量123e ??=????是矩阵12b M c ??

=????

的属于特征值4的一个特征向量．求矩阵M 及它的另一个特征值． B （选修4-4极坐标与参数方程）

在极坐标系中，设直线l 过点(),3,06A B π???，且线l 与曲线

():cos 0C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求正数a 的值． C （选修4-5不等式选讲）

已知a ，b ，c 为正实数，且5a b c ++=，求2222a b c ++的最小值．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户时，用户要对该箱中部分产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否合格相互独立．

（1）记某一箱20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，()f p 取最大值时对应的产品为不合格品概率为0p ，求0p ；

（2）现从某一箱产品中抽取3件产品进行检验，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为10元，若检验出不合格品，则工厂要对每件不合格品支付30元的赔偿费用，检验费用与赔偿费用的和记为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）

对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．

（1）根据恒等式()

()()()*111,m n

m

n

x x x m n ++=++∈N 两边p x 的系数相同直接写

出一个恒等式，其中,,p p m p n ∈≤≤N ； （2）设*,,,,m n p p m p n ∈∈≤≤N N ， 利用上述恒等式证明：()111

2C C

C C 1C C p

p i p i p p

n

m n n m m n m i i --+-+=--=-∑．