广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考数学试题(文)

广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考

数学（文科）

六校分别为：广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：椎体体积公式：1

3

V S h =

?底面积高 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分． 1、集合{}

22A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B ?=（ ）

A 、{}0

B 、{}02，

C 、[]0,2

D 、{}012，，

2、已知复数z 的实部是1-，虚部是2，则z i ?（其中i 为虚数单位）在复平面对应的点在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

3、函数()()

log 21x

a f x =-（0a >且1a ≠）的定义域是（ ）

A 、()0,+∞

B 、(),0-∞

C 、(),1-∞

D 、()1,+∞

4、圆2

2

220x y x y +--=上的点到直线20x y ++=的距离最大为（ ）

A

B

、

C

、D

、2+

5、“平面向量,a b 平行”是“平面向量,a b 满足a b a b ?=?”的（ ）

A 、充分非必要条件

B 、必要非充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

6、 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）

A 、3

B 、

25 C 、12 D 、2

3

第6题图 7、已知实数,x y 满足约束条件??

?

??≤≤-≥++000

5y y x y x ，则241z x y =++的最小值是（ ）

A 、14-

B 、1

C 、5-

D 、9-

8、已知32a =，6b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角是（

）

A 、30

B 、90

C 、45

D 、135

9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,25S S ==，则7S =（ ）

A 、41

B 、48

C 、49

D 、56

10、定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21(01)()1(1)x x f x x x

?-≤

=?≥??，

()g x =2log (0)x x >，若存在实数a ，使得()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是( )

A 、[]2,2-

B 、11[2,][,2]22

--? C 、11

[,0)(0,]22-? D 、(][),22,-∞-?+∞

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题

全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题）

11、已知C ?AB 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

且2a =，135∠B =，C 4S ?AB =，则b = ．

12、阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的 整数i 的最大值为 ．

13、若不等式

141a x x

+≥-对任意的()0,1x ∈恒成立，则a 的最 大值是 ．

(二)选做题（

14、15题，考生只能从中选做一题）

14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sin ρθ=m 与圆4cos ρθ=相切于极轴上方， 则m = ． 15、（几何证明选讲选做题）

如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于B A ,的点，CD AB ⊥，垂足为D . 若2AD =，

BC =O 的面积为 ．

第15题图 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、12

2，且()02f =；

求()2f C 的值．

17、（本题满分12分）

某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n 的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；

（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.

18、（本题满分14分）

如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥ CD ,CD AB 21

=

,BC AB ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE ,BCE ?为等边三角形，F M ,分别是BC BE ,的中点，DC DN 4

1

=；(1)证明：EF ⊥AD ；(2)证明：MN ∥ 平面

ADE ；(3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.

19、（本题满分14分）

已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：2141(*)n n a a n n N +=-∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足：123b b +=，34b =；（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足：n

n n

a c

b =，其前n 项和为n S ，证明16n S ≤<.

20、（本题满分14分）

已知抛物线C:22(0)x py p =>与直线1y x =-相切，且知点(0,1)F 和直线:1l y =-，若动点P 在抛物线C 上（除原点外），点P 处的切线记为m ，过点F 且与直线PF 垂直的直线记为n . (1)求抛物线C 的方程； （2）求证：直线,,l m n 相交于同一点. 21、（本题满分14分）

已知函数()(2)x f x x e =-和3()2g x kx x =--

（1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求k 的取值范围；

（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求k 的最大值.

广东省2015届高三上学期8月第一次六校联考

文科数学参考答案

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题

全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题）

11、 12、5 13、9 (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、2 15、

92

π

分 分

分

分

………10分

分

17、解：（Ⅰ）由题意，得

n

300

15010020045080045100800+++++=+

100=∴n …………………………2分

从持“无关系”态度的人中，应抽取

100

600302000?=人…………………………3分 从持“不知道”态度的人中，应抽取

100

500252000

?=人…………………………4分

（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则5

300200200m

=+，解得m=2. ……6分

就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作,3,2,1;2,1B B B A A 则从中任取2人的所有基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A

共10个……………………9分

其中至少有1人在40岁以下的基本事件为

),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个 …………………11分

记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为A ,则7

()10

P A = 所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为

7

10

………………………12分 18、(1)证明：

BCE ?为等边三角形，F 是BC 的中点

∴EF BC ⊥ ………………Z ………………………………………………1分 又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，交线为BC ,EF ?平面BCE

根据面面垂直的性质定理得 EF ⊥平面ABCD ; ………………………3分

又AD ?平面ABCD

∴ EF ⊥AD ………………………………………………………………4分

(2)证明：取AE 中点G ，连接,MG DG

,A G G E B M M E

==

∴GM ∥

AB ,且1

2

GM AB = ………………6分

AB ∥

CD AB CD 21

,=,14DN DC = ∴DN ∥

AB ,且1

2

DN AB = ………………8分 ∴四边形DGMN 是平行四边形 ∴DG ∥ MN ………………9分 又DG ?平面ADE ，MN ?平面ADE ∴MN ∥ 平面ADE ………………10分

(3)解：依题，直角梯形ABCD 中，AB ∥ 2,2,1,,===⊥BC CD AB BC AB CD 则直角梯形ABCD 的面积为11

()(12)2322

ABCD S AB CD BC =

+?=+?=梯形 ……12分 由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，EF 是四棱锥E ABCD -的高

在等边BCE ?中，由边长2BC =,

得02sin60EF =? ………13分 故几何体ABCDE 的体积为

11

333

E ABCD ABCD V S E

F -=??=?梯形 ………14分

19、解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有110,0,0,0a b d q >>>>

12112311

1211231()3

()(2)1534a a a a d a a a d a d b b b b q b b q =+=??=++=??+=+=??==?

解得111,1a b ==,2d =，2q =．…………………………4分

所以1(1)21n a n d n =+-=-，1

12n n n b q

--==．…………………………6分

（2）121

2n n n n a n c b --=

=．…………………………7分 1221352321

12222

n n n n n S ----=+++++，①

3252321

223222

n n n n n S ----=+++++，②

②－①得22122221

222222

n n n n S ---=+++++-，

22111

12122122

22n n n ---??=+?++++- ???

1

11121

2221212

n n n ----=+?--12362n n -+=-6<…………………………11分

又因为1121

02

n n n n n S S c ----==>，所以1n n S S ->，所以11n S S ≥=…………………13分

综上 16n S ≤< 得证. …………………14分

20、（1）解：联立221x py

y x ?=?=-?

消去y 得 2220x p x p -+=

因为抛物线C 与直线1y x =-相切，所以2480p p ?=-= ………3分 解得0p =（舍）或2p = ………4分

所以抛物线的方程为24x y = …………………5分

（2）证明：由2

4x y =得214y x =

，求导有1

2

y x '= ………………6分 设00(,)P x y ，依题其中00x ≠，则P 处的切线方程为：0001

()2

y y x x x -=-

20014y x = ∴切线方程:m 2

001124

y x x x =- …………………8分

与直线:1l y =-联立得：20042x x x -=，即直线,l m 相交于200

4

(,1)2x x -- …………9分

直线PF 的斜率为2

0000

14

4y x k x x --==

因为n 与直线PF 垂直，所以02041

4n x k k x =-=-- …………………11分

因为n 过点F ，所以n 的方程为020414x

y x x =-+- …………………12分

与直线:1l y =-联立得：20042x x x -=，即直线,l n 也相交于200

4

(,1)2x x -- ………13分

故直线,,l m n 相交于于同一点. ………………14分

21、解：（1）2

()31g x kx '=- …………………1分

①当0k ≤时，2

()310g x kx '=-≤，所以()g x 在()1,2单调递减，不满足题意；………2分

②当0k >时，()g x 在? ?

上单调递减，在?

+∞???

上单调递增，

因为函数()g x 在区间()1,2不单调，所以12<，解得11123k << ………4分

综上k 的取值范围是

11

123

k <<. …………………5分 （2）令3()()()(2)2x h x f x g x x e kx x =-=--++

依题可知3()(2)20x h x x e kx x =--++≥在[)0,+∞上恒成立 …………………6分

2()(1)31x h x x e kx '=--+，令()x ?=2()(1)31x h x x e kx '=--+，

有(0)(0)0h ?'==且()(6)x x x e k ?'=- …………………7分 ①当61,k ≤即1

6

k ≤

时， 因为0,1x x e ≥≥，所以()(6)0x x x e k ?'=-≥

所以函数()x ?即()h x '在[)0,+∞上单调递增，又由(0)(0)0h ?'== 故当[)0,x ∈+∞时，()(0)0h x h ''≥=，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增

又因为(0)0h =，所以()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立，满足题意；…………………10分 ②当61,k >即1

6

k >

时， 当()0,ln(6)x k ∈，()(6)0x x x e k ?'=-<，函数()x ?即()h x '单调递减， 又由(0)(0)0h ?'==，所以当()0,ln(6)x k ∈，()(0)0h x h ''<=

所以()h x 在()0,ln(6)k 上单调递减，又因为(0)0h =，所以()0,ln(6)x k ∈时()0h x <， 这与题意()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立相矛盾，故舍. …………………13分 综上16k ≤

，即k 的最大值是1

6

. …………………14分