通信原理第2章(3)

是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。 ξ(t)的自相关函数与功率谱
密度。
f ()

1

2
,0



2
0,else
解 ：(1) 先考察ξ(t)是否广义平稳：

E[(t)] (t) f()d


2 0
a
cos(0t

)g 1
2
gd

0
R( )e j f d

R() 1
2

P
()e
j

f
d

简记为:
R(τ) Pξ(ω)
（2.2 - 19）
关系式（2.2-18）称为维纳-辛钦定理，在平稳随机过程的理论和 应用中是一个非常重要的工具。
它是联系随机过程的频域和时域两种分析方法的基本关系式。
（2.2 - 14）
式中，FT(ω)是f(t)的截短函数fT(t)（见图 2 - 2）所对应的频谱函
数。
f (t)
¡
¡
O
t
图 2-2 功Leabharlann Baidu信号f(t)及其截短函数
f T(t)
£
T 2
O
T 2
t
我们可以把f(t)看成是平稳随机过程ξ(t)中的任一实现，因而每一 实现的功率谱密度也可用式（2.2 - 14）来表示。
lim S 1
2

1
p ()d 2

E FT () 2
T
T
（2.2 - 16）
虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)， 但我们很难直接用它来计算功率谱。
那么，如何方便地求功率谱Pξ(ω)呢？
我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与其频谱密度
最后可由性质5得：
R(0)-R(∞)=σ2=40-36=4
因此求得，均值为36，方差为4。
2.2.4
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。
我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。
而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为：
lim Pf () T
FT () 2 T
2.2.5
功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量,它具有下 列重要性质:
（1）功率谱密度是非负的，即：Pξ(ω)>0，可以根据其定义式：
P
()

E[Pf
()] lim T
E
FT () T
2
可以得到： FT () 2 0 ， 所以得到： Pξ(ω)>0
（2）功率谱密度是ω的实函数，这里可以根据其定义式看出：
R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］
(2.2 -8)
则具有如下性质:
（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S≥0 ［ξ(t)的平均功率］ (2.2 -9)
即:平稳随机过程的均方值就是自相关函数在τ=0时的非负值S。 并且这个S代表了随机过程的平均功率。
（2） R(∞)=E2［ξ(t)］
［ξ(t)的直流功率］
2.2.3平稳随机过程自相关函数的性质
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一个函 数。原因如下:
其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相 关函数来描述；
其二，自相关函数与平稳随机过程的频谱特性有着内在的联系。 因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。
设ξ(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关函数为:
函数是一对傅立叶变换关系。那么对于随机过程，也有类似的关系， 即：
P ()
R( )e j d

其傅里叶反变换为：
R() 1
2

P
()e
jd

于是有：
R(0) 1
2

P
()d


E[2
(t
)]
（2.2 - 17）
因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线
且当均值为0时，有R(0)=σ2。
（6） 若平稳ξ(t)满足ξ(t)= ξ(t+T)，则称其为周期平稳随机过程，其 中T为过程的周期。
并且其自相关函数R(τ)也为周期函数，并且周期也为T。
（7） 若平稳ξ(t)含有一个周期分量，则其R(τ)也含有一个相同周期 的周期分量。
这里举个例子说明：
例1:设某接收机的输入混合信号X(t)是随机相位正弦信号S(t)和噪声
FT () 2 0 是ω的实函数，所以Pξ(ω)必然为ω的实函数。
（3）对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的实函数，这里同样可 以根据定义式证明。
因此有：
Pξ(-ω)=Pξ(ω)
并且， 可定义单边谱密度Pξ1(ω)
2 p ()
Pξ1(ω)= 0

（4）对于实随机过程来说，功率谱密度可积，即：
(2.2 -10）
当τ→∞时， ξ(t)与ξ(t+τ)没有依赖关系， 即统计独立， 且认为 ξ(t)中不含周期分量。
（3） R(τ)=R(-τ)
［τ的偶函数］
(2.2 - 11)
（4） |R(τ)|≤R(0) 即:自相关函数在τ=0时具有最大值。
(2.2 - 12)
（5） R(0)-R(∞)=σ2
［方差，ξ(t)的交流功率］ (2.2 - 13)
Pξ(ω)=
a［2 δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］
2
平均功率为：
a2
S=R(0)= 2

p ()d

根据：
R(0) 1
2

P
()d


E[2
(t)]
可以说明功率谱密度函数曲线下的总面积（即随机过程的全部
功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程均方值是有限的，因 此功率谱密度可积。
例3：某随机相位余弦波 (t) a cos(0t )，其中A和ω0均为常数，
0
2)g 1
2
gd]

a2 2
cos 0
例2:已知平稳随机过程ξ (t)的自相关函数为：
R
()

36

1
4 52
利用自相关函数的性质求ξ (t)的均值与方差。
解:根据性质2可得：
R(∞)=E2［ξ(t)］=36
则有：E［ξ(t)］=±6
再由性质1可得： R(0)=E［ξ2(t)］=40
RX () RS ()

RN
()

a2 2
cos 0

RN
()
其中： RS () E[a cos(0t )ga cos(0 (t ) )]

a2 2
E[cos 0
cos(20t
0
2)]

a2 2
[cos 0
2 0
cos(20t
下的面积。
因此，Pξ(ω)必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平 稳随机过程的功率谱密度Pξ(ω)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变 换关系, 即
P ()
R( )e j d

R() 1
2

P
()e
jd

（2.2 - 18）
或
P ( f )
R (t1, t2 ) R (t1,t1 ) E[(t)(t )]
E[a cos(0t )ga cos(0 (t ) )]
a2
2 E[cos 0 cos(20t 0 2)]

a2 2
[cos 0

2 0
cos(20t

0

2)g 1
2
gd]

a2 2
cos
0
R
可见ξ(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔τ有关， 所以ξ(t)为广义平稳随机过程。
根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换， 则根据：
cosωcτ π［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］
所以，功率谱密度为
电压N(t)的和，即：X (t) S(t) N (t) a cos(0t ) N (t) ，并且
是(0,2 )上均匀分布的随机变量。且N(t)为平稳随机过程，求X(t)的
自相关函数。
解:既然N(t)为平稳随机过程，则可以设其自相关函数为RN(τ)，则
X(t)的自相关函数为：
但是由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预 知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
这个时候可以把随机过程的功率谱密度应看做是任一实现的功
率谱的统计平均，即
P
()

E[Pf
()] lim T
E
FT () T
2
（2.2 - 15）
ξ(t)的平均功率S则可表示成：