河北省唐山一中五校联考2020届 高三 数学 上学期2月联考 理

河北省五校联盟模拟考试数学试卷（理科）

说明：

1．考试时间120分钟，满分150分。2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在小答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在大答题卡上.。3．大答题卡卷头和小答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，小答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项正确.）

1．已知复数)(R b a bi a z ∈+=、，z 是z 的共轭复数，且)3)(2(i i z -+= 则a 、b 的值分别为

A ． 17，

B ．16-，

C ．17-，

D ．16，

2．若方程04lnx =-+x 在区间(,)(,,a b a b Z ∈且1)b a -=上有一根，则a 的值为 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知等差数列}{n a 中，2

99

,161197=

=+s a a , 则12a 的值是 A ． 15 B ．30 C ．31 D ．64 4．已知命题:p x ?∈R ，03>x

，则 Ａ．:p x ??∈R ，03≤x

Ｂ．:p x ??∈R ，03≤x

Ｃ．:p x ??∈R ，03

D ．:p x ??∈R ，03

5．已知直线n m ,和平面,α则//m n 的必要非充分条件是

A ． //m α且α//n Ｂ．m α⊥且α⊥n Ｃ．//m α且α?n D ．,m n 与α成等角 6．二项式12)2(x

x +

展开式中的常数项是

A ．第7项

B ．第8项

C ．第9项

D ．第10项 7

A ．25.57.0+=x y

B ．25.56.0+-=x y

1

1

11俯视图

正视图主视图

俯视图 C ．25.67.0+-=x y D ．25.57.0+-=x y 8．将函数)3

2sin(2)(π

-

=x x f 的图像向左平移

4

π

个单位，得到函数)(x g 的图像，则函数)(x g 的一个单调递增区间是 A ． ]0,245[π-

B ．]0,3[π-

C ．

]3,0[π D ．]2

,6[π

π- 9.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容

分别是

A ． f(a)f(m)<0 ； a=m ； 是； 否

B ． f (b )f (m )<0 ； b=m ； 是； 否

C ． f (b )f (m )<0 ； m=b ； 是； 否

D ． f (b )f (m )<0 ； b=m ； 否； 是 10. 任取]3,

3[-∈k ，直线3+=kx y 与圆

4)3()2(22=-+-y x 相交于M 、N 两点，则|MN|32≥的概率为

A ．

21 B ．23 C ． 3

1

D ．33

11．直线l 的方向向量为)3,4(=n 且过抛物线y x 42

=的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 A ．

8

85

B ．24125

C ． 12125

D ．24385

12．已知P 是双曲线

)0(1y 4x 2

22>=-b b 上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于 A. 753 B. 2

5

3 C.

7

2

D.

2

7

卷Ⅱ(非选择题 共90分)

二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）

13．已知函数()f x 满足(1)f =1 且(1)2()f x f x +=，则

(1)(2)(10)f f f +++…=___________。

14．若sinx 3)(+=x x f ，则满足不等式0)3()12(>-+-m f m f 的ｍ

的取值范围为 。

15．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三

棱锥C －ABD ，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C －AB －D 的

正切值为 。

75 80 85 90 95 100 分数

频率

组距

0.01

0.02 0.04 0.06 0.07

0.03 0.05 16．如右图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC,AD ⊥AB , AD=DC=2,AB=3,点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，点N 是DC

边的中点，则AM AN ?u u u u r u u u r

的最大值是________

三．解答题（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。） 17.（本题满分12分）若)0(cos sin cos 3)(2>-=

a ax ax ax x f 的图像与直线

)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.

(1)求a 和m 的值；

(2) ⊿ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。若

)2

3

2，（A 是函数)(x f 图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC 外接圆的面积。 18.(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． (1)分别求第3，4，5组的频率；

(2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；

(ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L 的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L 面试，求ξ的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，

22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .

(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ； (2)若二面角D BC P --为6

π

，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。

20．（本小题满分12分）已知方向向量为)3,1(=V

N

M

D

C B

A

的直线l 过椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的焦点以及点（0，32-），直线l 与椭圆C 交

于 A 、B 两点，且A 、B 两点与另一焦点围成的三角形周长为64。 （1）求椭圆C 的方程

（2）过左焦点1F 且不与x 轴垂直的直线m 交椭圆于M 、N 两点，

0tan 36

4≠∠=

?MON

OM （O 坐标原点），求直线m 的方程

21．（本小题满分12分）设函数)1ln(2)1()(2

x x x f +-+=

（1）若关于x 的不等式0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解，求实数m 的取值范围； （2）设1)()(g 2

--=x x f x ，若关于x 的方程p x =)(g 至少有一个解，求p 的最小值. （3）证明不等式：n

n 1

31211)1ln(++++

<+Λ )(*N n ∈

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ，

5=PB ，BAC ∠的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AE AD ?的值。

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,

)3

π. (1) 求圆C 的极坐标方程；

(2) 在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为

???

???

?+-=+=t y t x 232211 （t 为参数）

，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点)2,1(-M ,求|MA|·|MB|。 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设正有理数x 是2的一个近似值，令x

y ++=11

1．

（Ⅰ）若2>

x ，求证：2

C E P

（Ⅱ）比较y 与x 哪一个更接近于2？

河北省五校联盟模拟考试数学试卷参考答案

一、选择题：CBAA DCDB BCBD

二、填空题：13. 1023 14. m>-2 15. 2 16. 6 三、解答题： 17. 解：（1）ax ax ax x f cos sin cos 3)(2-=

=

)3

2sin(23π

--ax ………………3分 由题意，函数)(x f 的周期为π，且最大（或最小）值为m ，而0>m ,

012

3

<- 所以，,1=a 12

3

+=

m ………… ……………………6分 （2）∵（

)232，A 是函数)(x f 图象的一个对称中心 ∴0)3

sin(=-π

A 又因为A 为⊿ABC 的内角，所以3

π

=A ………… ……………………9分

⊿ABC 中，设外接圆半径为R ， 则由正弦定理得：3

3

83

sin

4sin a

2=

==

π

A

R ， 即：334=R

则⊿ABC 的外接圆面积3

162

π

π=

=R S ………… ……………………12分 18. 解：(1) 第三组的频率为0.06?5=0.3； 第四组的频率为0.04?5=0.2；

第五组的频率为0.02?5=0.1. ……………………3分 (2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试

则: P(A)= 3

30

22812C C C ?14527

= ……………………6分

(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量ξ可能的取值为0,1,2. …………7分

且)210()(26

242、、===-i C C C i P i i ξ，则随机变量ξ的分布列为:

……………………10分

32152158=

+=

ξE ……………………12分

19. 解：（1）∵2

2

2

BD BC CD += ∴BD BC ⊥

又∵PD ⊥底面ABCD ∴BC PD ⊥

又∵D BD PD =? ∴⊥BC 平面PBD 而?BC 平面PBC

∴平面⊥PBC 平面PBD ………………………………………5分 （2）由（1）所证，⊥BC 平面PBD

所以∠PBD 即为二面角P-BC-D 的平面角，即∠PBD 6

π

=

而3=

BD ，所以1=PD …………………………………………7分

分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。 则)0,0,1(A ，)0,3,0(B ，)0,3,1(-C ， )1,0,0(P 所以，)1,0,1(-=，)0,0,1(-=，)1,3,0(-= 设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则 ????

?=?=?

BP n BC n

即???=+-=-0

30

c b a 可解得)3,1,0(=n ∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为4

6

2

23sin =

?=

=

θ ……………12分 20．解：（1）323:-=x y l

直线l 与x 轴交点即为椭圆的右焦点）（0

,22F ∴c=2

由已知⊿AB F 1周长为64，则4a=64，即6a =

，所以2b =

故椭圆方程为1262

2=+y x ………………………………4分 （2）椭圆的左焦点为）（0

,21-F ，则直线m 的方程可设为)2(+=x k y 代入椭圆方程得：061212)13(2

2

2

2

=-+++k x k x k

设()1312,,),,(22212211+-=+k k x x y x N y x M 则 1

36

122221+-=?k k x x ………6分

∵0cos ||||sin 3cos 64tan 364≠∠?=∠∠=∠=

?MON OM MON

MON

MON OM

所以，634sin ||||=

∠?∴MON ON OM ，即63

2

=?OMN S ……………9分 又1

3)

1(62||1||22212

++=-+=k k x x k MN

原点O 到m 的距离2

1|2|k

k d +=

，

则==?d ||2

1

MN S OMN

632

1|2|13)1(6222=+?++k

k k k 解得3

3

±

=k )2(33+±=∴x y m 的方程 …… ……………………12分 21. 解：（1）依题意得m x f m ≥ax )(

()1

2212)1(2)(++=

+-

+='x x x x x x f Θ，而函数)(x f 的定义域为),1(∞+- ∴)(x f 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数，则)(x f 在]1,0[-e 上为增函数

2)1()(2max -=-=∴e e f x f

即实数m 的取值范围为22

-≤e m ………………………………4分 （2）1)()(g 2

--=x x f x )]1ln(x [2)1ln(22x x x +-=+-=

则x

x x x g +=+-

='12)111(2)( 显然，函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数

则函数)(g x 的最小值为0)0(g =

所以，要使方程p x =)(g 至少有一个解，则0≥p ，即p 的最小值为0 …………8分 （3）由（2）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立 所以 x x ≤+)1ln(，当且仅当x=0时等号成立

令)(1x *N n n ∈=

，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1

)11ln(<+ 即n n n 11ln <+， 即 n

n n 1ln )1ln(<-+

所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，n

n n 1

ln )1ln(<-+

将以上n 个等式相加即可得到：

n

n 1

31211)1ln(++++

<+Λ ………………………………12分 22. 证明：连结CE ，PC PB PA ?=2Θ，10=PA ，5=PB ，

20=∴PC ，15=BC ．

又 PA Θ与⊙O 相切于点A ，ACP PAB ∠=∠∴，

PAB ?∴∽PCA ?，则

2

1

==PA PB AC AB ． ………………4分 BC Θ为⊙O 的直径，?=∠∴90CAB ， 225222==+BC AB AC ．

可解得56=AC ，53=AB ． ……………………6分 又AE Θ平分BAC ∠，EAB CAE ∠=∠∴， 又E ABC ∠=∠Θ，ACE ?∴∽ADB ?， AC

AD

AE AB =

∴

905653=?=?=?AC AB AE AD …………………………………10分

23. 解：（1）设),(θρP 是圆上任意一点，

则在等腰三角形COP 中，OC=2，OP=ρ,|3|π

θ-

=∠COP ，而COP OC OP ∠=cos ||||2

1

所以，)3

cos(

4π

θρ-=即为所求的圆C 的极坐标方程。 ……………………5分

（2）圆C 的直角坐标方程为

4)3()1x 22=-+-y （，即：032222=--+y x y x

C P

将直线l 的参数方程??????

?+-=+=t y t x 232211 （t 为参数）代入圆C 的方程得：

0343)323(t 2=+++-t ，其两根21t t 、满足34321+=?t t

所以，|MA|·|MB|343||21+=?=t t ………………10分 24. 解：（1）因为=-

2y 211

1-++

x

x x x +--+=

1222x x +--=1)21)(2(<0 所以，2<

y ……………………………………4分

（2）=---|2||2y |x |2||1)21)(2(|

--+--x x x )122(|2|x

x

x +---=

∵022<-，0>x ∴0122<+--x

x

，而0|2|>-x

∴0|2||2y |<---x 即|2||2y |-<-

x

所以y 比x 更接近于2. ……………………………………10分