抽象代数课程教学大纲
抽象代数课程教学大纲
备注说明：1．带*内容为必填项。
2．课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
从近世代数看数系扩充
从近世代数看数系的扩充现行中小学数学教材中,关于数的概念的发展历程如下: N0 正分数Q+ 负分数 Q 无理数 R 虚数 C 上式中N0：非负整数集；Q+：非负有理数集；Q：有理数集；R：实数集；C：复数集. 在教学中，前两次扩充都是从实践需要来说明其必要性的.这样处理学生易于理解,符合可接受性原则.若从数学本身发展的需要出发,则常从以下两方面来说明:(l)某一运算的逆运算在原有数集中不封闭;(2)某一方程在原有数集中没有解. 事实上,这两个方面是相互等价且互为补充的.我们说某一运算的逆运算在原数集中不封闭,则必定存在与此运算有关的方程在此数集中无解;反之,若存在某一方程在原数集中无解,则此方程中涉及到未知数运算的逆运算并不封闭·例如,在N0中减法不封闭,这意味着当a>b时,方程a+x=b在N0中无解. 从代数系统(A,?)扩充到代数系统(B,。),必须满足以下四个条件:(1)A?B;(2)a°b=a?b,?a,b∈A;(3)在(B,°)中,方程a°x=b有唯一确定的解;(4)如果(C,十)也满足性质(1)~(3),则存在(B,。)到(C,+)的同构映射,这个映射使A中 的元素及运算保持不变. 满足上述条件的数集的扩充可能有多种方法.在中学数学教学中,数集扩充的方法是在已知的集合A上补充新数的集合A,构成扩集B,使B=A∪A这种扩充 思想虽易于接受,但不太严密,且不易了解数的结构思想. 另一种途径是从数学结构的角度,用旧数系中的数为材料构成一个新数集B,然后使它的某个子集与旧数系A相等(严格地说,是同构).下面说明通过这种途 径来建立数系的过程. 一自然数集N 自然数是最简单、最基本的数,皮亚诺四条公理揭示了自然数的根本性质. 在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N,十,?)是具有加法、乘法交换律和加法、乘法结合律以及分配律的代数系统. 在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的.可以证明“<”满足反对 称性、传递性、可比性以及最小数原理.所以(N,<)不仅是一个全序集,而且是一个良序集. 在(N,+,·)中,方程a+x=b,a?x=b不一定有解,因此,在N中,加法、乘法的逆运算都不封闭.对于减法要限制施行.对于除法则分两种情况讨论:(l)a整除b,(2)带余除法. 二从N到有理数域Q的扩充 定理可换半群(A,+)可扩充的充分必要条件是运算“+”是可消去的. 证明必要性:若a+c=a+b,a,b,c∈A,设(B,+)是(A,+)的扩充,则在(B,+)中,a+x=a+b有唯一解x=b;又由a+c=a+b,知c满足a+x=a+b,所以b=c.
近世代数教案 (2)
近世代数教案 西南大学 数学与统计学院 张广祥 学时数：80（每周4学时） 使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005 教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。 教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加
教学的教师集体研讨备课。 每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。 整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。 教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。 主要参考书： 1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社 2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999 3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002 4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社 5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002 第二章数环与数域 本章教学目标： 1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。 2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。 3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。 4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。 5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。 教学时数：共6节，8学时 2.1 整数剩余类环 复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道
近世代数讲义(电子教案)
《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
近世代数初步_习题解答(抽象代数)
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
密码学基础教学大纲完整版
《密码学基础》课程教学大纲 （课程代码：07310620） 课程简介 密码学基础是信息安全专业的一门技术基础课程，该课程的学习将为后续的信息安全课程打下基础，同时也为将来从事信息安全研究和安全系统的设计提供 必要的基础。该课程主要讲授流密码（古典密码学）分组密码学、公钥密码学、 密钥分配与管理、信息认证和杂凑算法、数字签名以及网络加密与认证等几个部分，在其中将学习各种加解密、散列函数、单向函数、签名模式及伪随机发生器 等多种密码学工具，以及如何应用这些工具设计一个实现基本信息安全目标的系 统（目前学时不够，没有安排）。基本密码学工具的掌握和应用这些工具构造安 全服务就是本课程的基本目标。 本课程具有如下特点： （一）依赖很强的数学基础 本课程需要数论、近世代数、概率论、信息论、计算复杂性等数学知识作为 学习的基础。这些数学基础的讲解既要体现本身的体系性，同时还要兼顾密码学背景。 （二）可扩展性强 各种具体方法的学习不是本课程的最终目标，背后的基本原理以及应用这些原理设计新工具的能力才是本课程的最终目标。 （三）课程内容复杂且涉及面广 由于密码学内容丰富，且包含许多复杂的知识点，所以本课程的讲授以线为主，即在基本主线的勾勒基础上对授课内容及复杂程度做出取舍。 本课程先修课程有：数据结构、近世代数、概率论、高等数学、高级语言程 序设计等。后续课程有信息安全扫描技术、PKI技术、病毒学等专业课程。 课程教材选用国内信息安全优秀教材杨波编著的《现代密码学》（清华大学出版社），同时参考国外优秀教材：《经典密码学与现代密码学》,Richard Spillman，清华大学出版社、Douglas R. Stinson著，冯登国译的《密码学原理和实践》，电子工业出版社,2003年2月第二版。另外还向学生推荐国内的一些具有特色的操作系统教材如胡向东编写的《应用密码学教程》（电子工业出版社）等。 实验教材选用自编的实验指导书，同时参考上海交大的“信息安全综合实验系统实验指导书”，除了这些教材之外，学校的图书馆为师生提供了相关的学术 期刊和图书。 课程教学体系：理论课程（34学时）课程实验（16学时）。达到从算法 验证、综合设计、到创新应用知识的逐步提高、全面培养的目的。相应的教学 材料由教学大纲、实验大纲、实验指导书等。实践环节的实验条件有：计算机 科学技术系的实验中心（实施课程实验）。 课程教学安排 序号内容课时数备注 一密码学概述 2 二古典密码学算法（一） 2
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
近世代数电子教案
近世代数电子教案 第一章基本概念 在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除。数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算。这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近二十多年来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。 我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。 在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。这些基本概念中的某一些，例如集合和影射，在高等代数里已经出现过。但是为了完整起见，我们不得不有所重复。 §1.1 集合 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 集合的概念，元素，空集合，集合与集合之间的包含、交、并、积，子集的 概念 例题： 例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合 例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6} 1 习题选讲P 4 ●教学难点 元素与集合的关系（属于）集合与集合的关系（包含） ●教学要求 掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念 2 ●布置作业P 4 ●教学辅导 精选习题：（侧重概念性、技巧性的基本问题） 1.B A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ §1.2 映射 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 映射，象，原象，映射相同的定义及映射的表示方法
数学系《高等代数》课程教学大纲
数学系《高等代数》课程教学大纲 学时：153学时学分：9 适用专业：数学与应用数学 执笔人：储茂权审定人：殷晓斌 说明： 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 （1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法； 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 （2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 （1）注重能力的培养 本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。 （2）注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
05006《近世代数》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲 课程编号：05006 课程英文名称：Modern Algebra 学时数：72学分数：3.5 适应层次和专业：数学与应用数学本科专业 一、课程的性质和目的 《近世代数》又名《抽象代数》（Abstract Algebra），是数学与应用数学专业本科的一门重要专业基础课，也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。《近世代数》的基本概念、理论和方法，是每一个数学工作者所必需具备的基本数学素养之一。理解和掌握《近世代数》的基本内容、理论和方法，对于学生加深理解数学的基本思想和方法，培养抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学修养都具有重要意义。 课程设置的目的主要为：使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识，提高抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生获得一定的抽象代数的基础知识，受到代数方法的初步训练，为进一步学习代数后继课程打下基础；使学生能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题，培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力。二、课程教学内容及各章节学时分配 第一章、基本概念（14学时） 第一节集合 主要知识点：集合的基本概念，集合的运算 第二节映射与变换 主要知识点：映射、单射、满射、一一映射、映射的合成、变换、一一变换、恒等变换、n次置换 第三节代数运算 主要知识点：代数运算、二元运算 第四节运算律 主要知识点：结合律、交换律、左分配律、右分配律、结合律的性质、交换律的性质、分配律的性质 第五节同态与同构 主要知识点：同态映射、同态满射、同态、同构映射、自同态、自同构 第六节等价关系与集合的分类 主要知识点：关系、等价关系、集合分类、同余关系、模n的剩余类、等价关系与集
信息安全数学基础教学大纲
西北师范大学网络与信息安全方向课程教学大纲 信息安全数学基础 一、说明 （一）课程性质 专业课、必修课 （二）教学目的 信息安全数学基础是网络与信息安全方向的一门核心数学基础课，是一门理论性较强的课程。本课程的目的是为了适应信息安全专业培养目标的要求，使学生学习掌握如何应用信息安全数学中的理论和方法来分析研究信息安全中的实际问题。 （三）教学内容 向学生系统介绍信息安全数学基础的理论和方法，使学生认识信息安全数学在信息安全中的作用，领会其基本思想和分析与解决问题的思路。要求掌握整除与欧几里得除法、不定方程、同余、同余方程、二次同余式与平方剩余、原根与指标，近世代数（群与群的结构、环论、域的结构、有限域等）等内容。 （四）教学时数 学时数为：72学时 （五）教学方式<宋体小四加粗> 教学方法为课堂教学 二、各章教学内容和要求 第1章整数的可除性 教学要点： 掌握整除的基本概念和性质，最大公因数的概念和广义欧几里得除法的使用，最小公倍数以及素数的基本定理。重点为整除的概念、广义欧几里得除法。从基本的整除理论入手，阐明本课程与其他学科的关系，让学生对整个理论框架有个初步的认识，同时也尽量培养学习兴趣。 教学时数： 11学时 教学内容： 1.1 整除的概念欧几里得除法（4学时） 介绍整数的一些基本概念和性质 1.2 整数的表示（1学时） 介绍整数的各种表示形式 1.3 最大公因数与广义欧几里得除法（1学时） 介绍最大公因数与广义欧几里得除法 1.4 整除的进一步性质及最小公倍数（1学时） 介绍最小公倍数的定义和相关性质 1.5 素数算术基本定理（1学时） 介绍算术基本定理和素数的性质 1.6 素数定理（1学时） 介绍素数的判定算法
《近世代数》模拟试题2及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
初等数论教学大纲
《初等数论》教学大纲 Elementary number theory 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、课程性质与目的 1. 课程目标 初等数论是数学与应用数学专业一门专业选修课。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除、不定方程、同余、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的实际工作打下良好基础。 2. 与其它课程的关系 本课程是初等数学研究、C语言程序设计A，近世代数等课程的后续课程。 3. 开设学期 按培养方案规定的学期开设。 三、教学方式及学时分配 四、教学内容、重点 第一章整数的可除性 1. 教学目标 理解整数整除的概念、最大公约数的概念、最小公倍数的概念，掌握带余除法与辗转相除法；理解素数与合数的概念；理解和掌握素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；掌握函数[x]和 {x} 的性质。 2. 教学内容 （1）整数整除、剩余定理：带余除法与辗转相除法；最大公约数的概念、性质及求最大公约数的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。（2）素数与合数：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数
的求法；函数[x] {x} 的性质及其应用。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 辗转相除法，整数的素数分解定理。 5. 本章难点 求最大公因子的方法。 第二章不定方程 1. 教学目标 理解不定方程的概念，理解和掌握元不定方程有整数解的条件，会求一次不定方程的解。 2. 教学内容 （1）一次不定方程，多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解条件，求简单的多元一次不定方程的解。（2）二元一次不定方程有整数解的条件，求一次不定方程的解。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 多元一次不定方程有解条件，二元一次不定方程有整数解的条件。 5. 本章难点 不定方程的整数解的形式，求多元不定方程的整数解。 第三章同余、同余式 1. 教学目标 理解整数同余的概念，理解和掌握同余的基本性质、整数具有素因子的条件函数相关性质；理解剩余类与完全剩余系的概念，理解欧拉函数的定义及性质；掌握欧拉定理、费马定理、孙子定理。 2. 教学内容 （1）整数同余：整数同余的概念、同余的基本性质；整数具有素因子的条件；利用同余简单验证整数乘积运算的结果。（2）剩余类与完全剩余系：剩余类与完全剩余系的概念；判断剩余系的方法；欧拉函数的定义及性质；欧拉定理、费马定理。（3）同余式的基本概念、孙子定理。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理。 5. 本章难点
最新近世代数期末考试题库教案资料
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??????=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
课程教学大纲上海交通大学致远学院
上海交通大学致远学院2014年春季学期 《抽象代数》课程教学说明 一.课程基本信息 1．开课学院（系）：致远学院 2．课程名称：《抽象代数》(Abstract Algebra) 3．学时/学分：64学时/ 4学分 4．先修课程：数学分析、空间解析几何、高等代数、初等数论 5．上课时间：周3周5第1、2节 6．上课地点：中院205 7．任课教师：章璞pzhang@https://www.360docs.net/doc/6518042741.html, 8．办公室及电话：数学楼1203 9．助教：邢长贾xing_changjia@https://www.360docs.net/doc/6518042741.html, 10.Office hour：周4周5下午2:00 - 4:00数学楼1203 二.课程主要内容和教学进度安排 课程性质：抽象代数是高等学校数学类各专业的必修课。它是研究群、环、域这三种基本的代数结构的一门课程。主要内容包括群的基本结构理论、群在集合上的作用及其应用、环的基本结构和因子分解理论、中国剩余定理、域的扩张理论、有限域及其应用、Galois理论及其应用。 教学目标：要使学生掌握抽象代数基本的理论与方法，注意结合具体的例子来理解抽象代数中的数学概念、思想和思维方法，使学生的抽象思维能力得到系统的训练和提高，为进一步学习数学和其它学科奠定坚实的代数基础。 第1章群论（30学时） 1.0 课程简介（0.5学时） 课程名称；历史演变与研究对象：数数－算术－代数－结构－作用 基本的代数结构：群、环、域 特点与重要性：从三方面讲：理论、应用、思维的训练 要求与学习提示：概念清楚、意义明确、理解准确、逻辑严密 强调例子对于理解和发展的重要性 掌握standard arguments 思考、比较、联系；多想、多练. 1.1 对称性与群概念的引入（0.5学时） 美（beauty）的基本要素：对称性 怎样数学地描述现实世界中对称性？：图形M的对称性理解为集合M的
近世代数讲义(电子教案)
《近世代数》课程教案 第一章基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
抽象代数期末考试试卷及答案教学提纲
抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶 2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。 A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（） A、（N,≤） B、（Z,≥） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（） A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则 () []= -a f f1----------。 3、区间[1，2]上的运算} , {min b a b a= ο的单位元是-------。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8 的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。 9、设群G中元素a的阶为m，如果e a n=，那么m与n存在整除关系为--------。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
高等代数教学大纲
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：学科基础 课程性质：必修 一、课程介绍 1.课程描述： 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路： 开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学课程（如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面，通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称为经典代数；19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等，称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 2 -
高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间，是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：数学分析、空间解析几何； 后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数学的基本内容，联系密切。 二、课程目标 本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。 到课程结束时，学生应达到以下几方面要求： （1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准 - 2 -