管理运筹学期中测试答案

一、下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，已知该LP 问题的目标函数为极大化类型，表中为x 4、x 5为松弛变量，原问题的约束全部为“≤”形式。

C B x B b c 1 c 2 c 3 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 c 3 x 3 5/2 0 1/2 1 1/2 0 c 1 x 1

5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3 σn

-4

-4

-2

（１）写出原线性规划问题； （２）写出原问题的对偶问题；

（３）直接由表写出对偶问题的最优解。

（1）【解一】511222(1)255111111

26322632010012105(|)10100404204042A b z z ???

?? ? ?=--???→-- ? ?

? ?

------???? 1

6

(2)(1)'101113333(3)(1)'401210

5100080220z +?+??? ?????→- ? ?-+??

(2)'3

(3)'(2)'6

01210

5311011062100040z ?+??? ?????→- ? ?-+??

因此，原问题为：()123

23123max 621025

..31001,2,3

j

z x x x x x s t x x x x j =-+?+≤?

-+≤??≥=?

【解二】由最优表可知12

11

16

30B -??= ?-??

，则2013B ??= ???。由此： 5

11

2

2

251112

6

3

2

01

2001210510133110110??????→ ? ? ?---????

??。 求目标函数系数c 1、c 2、c 3，

在最终单纯形表中，考虑变量x 5的检验数的计算应有：11302c -=-，得c 1=6，

考虑变量x 4的检验数的计算应有：11312604c c -+=-，得c 3=10，

在此基础上，考虑变量x2的检验数计算应有：11231224c c c -+=-，得c 2=-2。

同样得到原问题模型为：()123

23123max 621025

..31001,2,3

j

z x x x x x s t x x x x j =-+?+≤?

-+≤??≥=?

（2）其对偶模型为：12

212

1212min 51036

2..210,0

y y y y y s t y y y y ω=+≥??-≥-??

+≥??≥?

（3）有最终单纯形表可知其对偶问题的最优解为：*

*

124,2y y ==。

二、用对偶理论证明下列线性规划问题无最优解：()123

13123max 4

..2301,2,3

j

z x x x x x s t x x x x j =-+?-≥?-+≥??≥=? 【解】首先写出该线性规划问题的对偶模型：12

1221212min 431

(1)1(2)..21(3),0

y y y y y s t y y y y ω=++≥??-≥-??

-+≥??≤? 因为y 1,y 2均为非正变量，因此对偶模型中约束(1)是矛盾的，因此对偶模型没有可行解，当

然不会有最优解，根据强对偶定理，原问题也不存在最优解。

三、已知线性规划问题：()12

1212max 23515..622401,2

j

z x x x x s t x x x j =+?+≤?+≤??≥=?，其最终单纯形表如下表所示： C B x B b 2 1 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 1

x 2 3/4 0 1 1/4 -1/8 2 x 1

15/4 1 0 -1/12 5/24 σn

-1/12

-7/24

试求使最优基保持不变的c 2和b 1的取值范围。

【解】1）c 2的分析

变量x 2在最优表中为基变量，在表中，用c 2替换变量x2的系数，并重新计算所有非基变量的检验数，得下表：

欲使当前的最优解保持不变，c 2的取值需满足下面不等式组：

11

2465

12812

00c c -+≤??-≤?，即：10

2233c ≤≤。 注：也可以在表中将x 2的系数改写成21c +?,则会得到不等式组：11

241271

28240

0c c -?-≤???-≤?，即：71233c -≤?≤，亦即：102

233c ≤≤。

2）b 1的分析

由最优单纯形表可知最优基的逆矩阵为：1148151

12

24B --??= ?

-??

，初始右端列向量可写为：124b ?? ???，欲使最优基保持不变，亦即要求：111114

84151

1112

241230524b b B b b ---??????==≥ ? ? ?--+??????

，解此不等式组可得：11260b ≤≤。

四、两个水厂A 1、A 2将自来水供应到B 1、 B 2、 B 3三个小区，每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价如下表。问：应如何安排供水方案，可使总的供水费用最小？(要求: 确定初始运输方案时选用最小元素法.)

B 1 B 2 B 3 供应量(吨)

A 1 10 6 4 170 A 2 7 5 6 200

需求量(吨)

160

90

120

【解】由于总供水量为370吨，总需水量亦为370吨，该问题为产销平衡的运输问题，故采用表上作业法求解。

1） 用最小元素法确定初始基本可行解

①在运价表中，最小运价为c 13，因此选取x 13为第一个基变量，且x 13=min{120,170}=120，将其填入(A 1,B 3)格中。因为第三个小区的需水量得到了满足，所以在运价表中划去第三列，同时修正A 1的剩余供水量为50，得表一：

②在剩余的运价表中，c 22为最小运价，因此选取变量x 22为下一个入基变量，且x 22=min{90,200}=90，同时划去运价表中的b 2列，修订A2的供水量为110，得表二：

120

B 3

90 120

③因为运价表中仅剩下B 1列，所以变量x 11、x 21均为基变量，首先x 21x 11=50。 最后给出初始基本可行解如表三所示。

B 2

B 3

160 90

120

2用闭回路法计算非基变量的检验数，为此先找出空格的闭回路，具体如下： 空格(A 1,B 2)的闭回路为：(1,2)-(2,2)-(2,1)-(1,1)，所以

1212211122(c c )(c c )(67)(105)2σ=+-+=+-+=-

空格(A2,B3)的闭回路为：(2,3)-(2,1)-(1,1)-(1,3)，所以

2323111321(c c )(c c )(610)(47)5σ=+-+=+-+=

因为1220σ=-<，所以当前解不是最优解，需要调整。

2） 闭回路调整

x 12为入基变量，根据空格(A 1,B 2)的闭回路(1,2)-(2,2)-(2,1)-(1,1)可知，

{}{}112211min ,min 50,9050x x x θ====，x 11为出基变量，由此调整如下：

x 21=0+50=50,x 11=50-50=0,x 21=110+50=160,x 22=90-50=40，调整后的运输方案如表四：

160 90 120 再次用闭回路方法计算空格(A11)和(A23的检验数为：

11 23(105)(67)2 (66)(54)3

σσ=+-+=

=+-+=

，由于所有非基变量的检验数均大于零，因此找到了唯一最优解，

即最优供水方案为：A1→B2：50吨，A1→B3：120吨，A2→B1：160吨，A2→B2：40吨，总的运输成本为：6×50+4×120+7×160+5×40=2100。