例谈充要条件的证明问题

例谈充要条件的证明问题

充要条件是本章的一个重要内容，也是高考及其他考试的一个热点。证明p 是q 的充要条件，，即要证明命题“p q ⇒”为真，又要证明命题“q p ⇒”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性。以下两例，供参考。

例1 已知数列{}n a 的前n 项和为(0n n

S aq b a =+≠，q 是不等于0和1的常数），求证数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。

分析：证明充分性就是证明条件能推出结论，证明必要性则是证明结论能推出条件。

证明：（1）先证充分性。

∵0a b +=，

∴n n n

S aq b aq a =+=-。 ∵1n n n a S S -=-1()()

n n aq a aq a -=---1(1)(1)n a q q n -=->， ∴11

(1)(1)n

n n n a a q q a a q q +--=-(1)q n =>，

又∵1a aq a =-，22a aq aq =-， ∴221

a aq aq q a aq a -==-。

故数列{}n a 是公比为q 的等比数列。

（2）再证必要性

∵数列{}n a 为等比数列， ∴1(1)1n n a q S q -=-1111n a a q q q =---。

∵n

n S aq b =+， ∴11a a q =--，11a b q =-。 ∴0a b +=。

综上所述，数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。

评注：证明充要条件，首先要找到条件和结论，如本题“证明数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=”说的很明白，条件是0a b +=，结论是数列{}n a 为等比数列。充分性和必要性要逐一证明，并有必要的文字说明。

例2 已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是3322

0a b ab a b ++--=。

分析：本题中0ab ≠是大前提，证明充要条件，即证明既是充分条件又是必要条件，必须证明必要性与充分性都成立。

证明：先证必要性：∵1a b +=，即1b a =-，

∴33223322(1)(1)(1)a b ab a b a a a a a a ++--=+-+----

323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=，

∴必要性成立。

再证充分性： ∵

33220a b ab a b ++--=， 即2222()()()0a b a ab b a ab b +-+--+=，

∴

22(1)()0a b a ab b +--+=。 又∵0ab ≠，∴0a ≠且0b ≠，从而220a ab b -+≠， ∴10a b +-=，即1a b +=，

∴充分性也成立。

故0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=。

评注：证明充要条件时，要分清充分性是证明怎样的一个式子成立，必要性又是证明怎样的一个式子成立。

例 3 已知方程

22(21)0x k x k +-+=，求使方程有两个大于1的根的充要条件。

分析：求充要条件，则推理的各步应是可逆的，

0∆≥是有实根的充要条件。

解析：设方程的两根为1x 、2x ，使1x 、2x 都大于1

的充要条件是

22121

2(21)40(1)(1)0(1)(1)0k k x x x x ⎧--≥⎪-+->⎨⎪-->⎩，即1212121()20

()10k x x x x x x ≤⎧⎪+->⎨⎪-++>⎩。 由韦达定理得214(21)20(21)10k k k k ⎧≤⎪⎪--->⎨⎪+-+>⎪⎩，解得2k

<-。

故所求的充要条件为2k <-。

评注：“11x >，21x >122x x ⇒+>，121x x >”，但反过

来，“122x x +>，121x x >11x ⇒>/，21x >”，例如取11x =，

23x =有122x x +>，且121x x >，但没有保证两个根都大于1，1212021x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩仅是两根都大于

1的必要条件，

而不是充分条件。