天津大学物理化学教研室《物理化学》(下册)章节题库(量子力学基础)

第8章量子力学基础

一、选择题

1．请问以下函数，哪几个为算符的本征函数?它的本征值是什么?

A．e x

B．x2

C．sinx

D．3cosx

【答案】

根据算符的定义判断：

A项，=e x，是本征函数，本征值为1；

B项，=2，不是本征函数；

C项，=-sinx，是本征函数，本征值为-1；

D项，=-3cosx，是本征函数，本征值为-1。

二、问答题

1．对于立方箱中粒子，请问在的能量范围内有多少个态?有多少个能级?其简并度各为多少?

【答案】

对于立方箱中粒子，其能级为

根据题意n x2+n y2+n z2≤12

又因为量子数只能取大于零的正整数，所以有以下几种能级及态和简并度：

n x2+n y2+n z2 3 6 9 11 12

n x n y n z111 211 121 112 122 212 221 113 131 311 222 简并度 1 3 3 3 1

三、推导及证明题

1．试证明：对于一维势箱中的粒子，具有不同本征值的波函数相互正交。

证：设两不同本征值对应的本征函数为：

所以两波函数正交。

2．已知归一化的氢原子基态的波函数为：

试由量子力学能量表达式推求基态能量。

证：氢原子的哈密顿为

ψ为球对称，所以

由于

s1

ψ微分后得：

代入哈密顿表达式并对

s1

ψ，后进行积分，注意得：上式左乘

s1

，其中，波尔半径。