新人教版九年级数学上册22二次函数复习教案新版

第22章二次函数

一、复习目标

1.理解二次函数的概念；

2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；

3.会平移二次函数y ＝ax 2

(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2

＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

4.会用待定系数法求二次函数的解析式；

5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

6.二次函数的综合应用 二、课时安排 2

三、复习重难点

把握二次函数的性质，利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其它知识点进行综合应用。

四、教学过程 （一）知识梳理 二次函数知识点：

1. 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。

2. 二次函数的基本形式

（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：

2. 2y ax c =+的性质：

3. ()2

y a x h =-的性质： 4. ()2

y a x h k =-+的性质： 3.二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，

； (2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

（3） 平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

4.二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与轴的交点()10x ，，()20x ，(若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 5.二次函数2y ax bx c =++的性质

（1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-

时，随的增大而减小；当2b x a >-时，随的增大而增大；当2b

x a

=-时，有最小值2

44ac b a

-． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当

2b x a <-

时，随的增大而增大；当2b x a >-时，随的增大而减小；当2b

x a

=-时，有最大值244ac b a -． 6.二次函数解析式的表示方法

（1） 一般式：2y ax bx c =++(，，为常数，0a ≠)； （2） 顶点式：2()y a x h k =-+(，，为常数，0a ≠)；

（3）两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，，是抛物线与轴两交点的横坐标).

7.二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是

一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与轴没有交点. 7.二次函数的应用： （二）题型、方法归纳 类型一：二次函数的平移

【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2

向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()

A.y=3(x+2)2

+3B.y=3(x-2)2

+3 C.y=3(x+2)2

-3D.y=3(x-2)2

-3

【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2

向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x 2

+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2

+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2

+3.

归纳：二次函数平移的两种方法

1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.

2.利用规律平移:y=a(x+h)2

+k 是由y=ax 2

经过适当的平移得到的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.

类型二：二次函数的图象及性质

【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax 2

+bx+c (a ≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b 2

>4a;③0-1时,y>0.其中正确结论的个数是()

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;

②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0

④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.所以正确的共有4个,选B.

归纳：

类型三：二次函数与方程、不等式

【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是.(填入正确结论的序号)

【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的开口方向向上,∴a>0;

b

－ =1>0,∴a与b异号,则b<0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=

2a

b

－=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,③是错误的.

∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x=

2a

∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,

∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.

∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.

答案:①②⑤

归纳：二次函数与方程、不等式的关系

1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.

2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.

类型四：二次函数的应用

【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).

由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.

(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.

(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?

(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?直接写出结果.

【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax 2

+bx+c, 根据题意,得

4a 2b c 49,a 1,

4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-????

++==-????==??

解得， ∴y 关于x 的函数解析式为y=-x 2

-2x+49.

不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y 不是x 的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y 不是x 的一次函数.

(2)由(1)得y=-x 2

-2x+49,∴y=-(x+1)2

+50. ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50.

即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3)-6

归纳：解决二次函数应用题的两步骤

1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.

2.应用:利用二次函数的性质解决问题.

（三）典例精讲

例题1： （2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：

有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m 2．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：

（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；

（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．

【解答】解：（1）由已知可得：AD=，

则S=1×m2，

（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，

∵，

∴，

设窗户面积为S，由已知得：

，

当x=m时，且x=m在的范围内，，

∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．

【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．

（四）归纳小结

1.引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。

2.结合知识点进行归纳总结；

3.灵活应用知识点。

（五）随堂检测

1.(茂名中考)下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是()

A.y=3x2+2

B.y=3(x-1)2

C.y=3(x-1)2+2

D.y=2x2

2.(衢州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为()

A.b=2,c=-6

B.b=2,c=0

C.b=-6,c=8

D.b=-6,c=2

3.(长沙中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,

则下列关系式错误的是()

A.a>0

B.c>0

C.b2-4ac>0

D.a+b+c>0

4.4.(陕西中考)已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y1>y2 ≥y0,则x0的取值范围是()

A.x0>-5

B.x0>-1

C.-5

D.-2

5.(绵阳中考)二次函数y=ax2+bx+c

的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0;

②b>a>c;③若-1

－ ;

a

④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结论是

(写出你认为正确的所有结论序号).

6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠

霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系

22810y x x 999

=-++，

则羽毛球飞出的水平距离为m.

7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.

(1)试求y 与x 之间的函数关系式.

(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少? 【答案】

1.【解析】选D.函数y=3x 2

的图象平移后,二次项系数仍然是3,不可能变为2,所以D 选项中二次函数的图象不能通过函数y=3x 2

的图象平移得到.

2.【解析】选B.平移后的顶点为(1,-4),根据平移前后是相反的

过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到y=x 2

+bx+c 的顶点为(-1,-1),所以原抛物线的解析式y=(x+1)2

-1,化成一般形式为y=x 2

+2x,故b=2,c=0.

3.【解析】选D.

4.【解析】选B.∵y 1>y 2≥y 0,∴抛物线开口向上,且对称轴不可能 在A 点的左侧;若对称轴在B 点或其右侧,此时满足题意,则有 x 0≥3;若对称轴在A,B 两点之间,当y 1=y 2时,有x 0=-1,当y 1>y 2时, 应有x 0> 532

-+,即3>x 0>-1,综上可得x 0的取值范围是x 0

>-1.

5.【解析】对称轴x= b 2a

－

＞1，所以b>－2a ，即2a+b>0，故①正 确；抛物线开口向下，a ＜0，与y 轴交于负半轴，c ＜0，对称 轴x=

b 2a

－

＞0，∴b ＞0.根据图象无法确定a 与c 的大小，故②不 正确；因为－1＜m ＜n ＜1，∴m n 2

+ ＜1，而对称轴x= b 2a

－

＞ 1，所以 m n 2

+ ＜b 2a －

，即m+n ＜ b a

－

，故③正确；因为x=1时，

a+b+c ＞0，而2a+b>0，∴2a+b+a+b+c>0，所以3|a|－2|b| +|c|=－3a －2b －c=-(3a+2b+c)<0，即3|a|+|c|＜2|b|，故 ④正确. 答案：①③④

6.【解析】令y=0，得：

22810x x 0999

++=－， 解得：x 1=5，x 2=-1(不合题意，舍去)，所以羽毛球飞出的水平距离为5 m.

答案：5

7.【解析】(1)由题意,可设y=kx+b(k ≠0),把(5,30000),(6,20000)代入得

30 0005k b,k 10 000,20 0006k b b 80 000,

=+=-???

?=+=??解得， 所以y 与x 之间的关系式为:y=-10000x+80000. (2)设每月的利润为W,则W=(x-4)(-10000x+80000) =-10000(x-4)(x-8)=-10000(x 2

-12x+32) =-10000[(x-6)2

-4]=-10000(x-6)2+40000. 所以当x=6时,W 取得最大值,最大值为40000元.

答:当销售价格定为每件6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元. 五、板书设计

第22章二次函数

1.考查二次函数的定义、性质：

2.综合考查正比例、一次函数、二次函数的图像:

3.考查二次函数与一元二次方程的关系问题：

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

例题精讲：

六、作业布置

《二次函数》随堂检测及其单元检测试题

七、教学反思