江西省临川一中2018届高三下学期第二次联考(理数)

江西省临川一中2018届高三下学期第二次联考

数学（理科）

满分150分 考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1． 若()10z i i ++=（i 为虚数单位），则复数z =（ ）

A ．1122i -

+ B ．11

22

i -- C ．1122i + D ．1122i - 2．设集合{}123A =，，， {}2,34B =，， {|}M x x ab a A b B ==∈∈，，，则M 中的元素个

数为（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

3．已知命题:p 直线l 过不同两点()111,P x y 、()222,P x y ,命题:q 直线l 的方程为()()211y y x x --=

()()211x x y y --，则命题p 是命题q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、

上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分2

3

只鹿，则公士所得鹿数为（ ） A ．1只 B ．

4

3

只 C ．13只 D ．53只

5．函数()2ln f x x x =的减区间为（ ）

A ．(

B ．?+∞????

C ．?-∞ ?

? D ．? ?? 6．已知双曲线221mx y -=的焦距是虚轴长的3倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．y x =

B ．y x =

C ．y =±

D ．y =

7．如图所示的程序框图,则满足2≤+y x 的输出有序

实数对),(y x 的概率为（ ）

A ．

16

1 B ．323

C ．41

D ．2

1

8．已知关于x 的方程sin()sin(

)212

x x m π

π-++=-

在区间[)0,2π上有两个根12,x x ，且12x x π-≥， 则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(1,0]-

B ．1[,1)2

C ．1(0,]2

D ．[)0,1 9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都

是直角梯形，左视图是正方形， 则该几何体最长的棱 长为 （ ）

A ．24

B ．132

C ．52

D ．6

10．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次

从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片

全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率 为（ ）

A ．

585 B ．14

81 C ．2281 D ．2581

11． 已知向量a 、b 、c 为平面向量，||||21a b a b ==?=，且c 使得2c a -与c b -所成夹角为

3

π

.则||c 的最大值为（ ）

A 1

B

C ．1

D 1

12．已知函数2

()ln (2)f x x ax a x =+++ （a R ∈），()

2x

x g x e =-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中 2.71828...

e =为自然对数的底数)为（ ） A ．232(2,)e e e e +--

+ B ．2(2,]2e e e --+ C ．232(,]e e e e +--+ D ．2(,)2

e

e e --+

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共

25分．

13．多项式9

1)2x

的展开式中常数项是 ． 14．若实数y x ,满足?

??≤+-≤012y x y ，则2-+=x y

x z 的最小值为 ．

15．设AB 是过抛物线22y px =焦点的弦，其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||FG AB λ=，则λ

的值是 ．

16．在ABC ?中，点D 、E 在边BC 上，满足1BD DE EC ===.若15BAD ∠=，30DAE ∠=，

则ABC ?的面积为 ．

三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差10,0d a ≠=，其前n 项和为n S ，且22a +，3S ，

4S 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若21

(2n 2)2n n b n S ++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：322n T n -<.

18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2

AB AC ==

，

AD =PB =PB AC ⊥.

（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；

（2）若45PBA ∠=?，试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E 使得直线

CE 与平面PBC 若存在，求出AE

AP

的值；若不存在，请说明理由.

19. （本小题满分12分）为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作.为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的

（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ， μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求(3679.50)P Z <≤；

（2）在（1）的条件下,市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励:

（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会； （ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：

X ,求X 的分布列与数学期望. 附：参考数据与公式:

14.5≈，若()

2,X N μσ~，则①()0.6827P X μσμσ-<≤≤=；

②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b += (0)a b >>，短轴为MN .点

(4,0)P 满足15PM PN ?=.

（1） 求椭圆C 的方程；

（2） 设O 为坐标原点，过点P 的动直线l 与椭圆交于点A 、B ，是否存在常数λ使得

OA OB PA PB λ?+?为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分12分）已知()x f x e =，2g()2sin 1x x ax x x =+-+.

（1） 证明：1

11x x e x

+≤≤

- ([0,1))x ∈； （2） 若[0,1)x ∈时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.

选做题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果全做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号）

22. （本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,

x t y m t =??

=-?

（t 为参数，m R ∈）以原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22

3

12sin ρθ

=+（0,[0,]ρθπ>∈）. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程.

（2）若P 、Q 分别为1C 、2C 上的动点，且P 、Q 间距离的最小值为m 的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈.

(Ⅰ)若不等式()12f x x +-≥对R x ?∈恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当2a <时，函数()f x 的最小值为1a -,求实数a 的值.

数学（理科）参考答案

1．B 2．C 3． C 4． C 5． D 6．A 7．D 8．B 9． D 10．B 11．A 12． C

13. -672 14. -3 15．

12 16. 17. 解：（1）由10a =得()1n a n d =-， ()12

n n n d

S -=

，

因为2342,,a S S +成等比数列，所以()2

3242S a S =+，

即()()2

326d d d =+?，

整理得23120d d -=，即240d d -=， 因为0d ≠，所以4d =， 所以()()14144n a n d n n =-=-=-. （2）由（1）可得()121n S n n +=+，

所以22(22)4(1)21122()22(1)2(2)(2)2

n n n b n n n n n n n n n ++===+=+-+++++，

所以1

11111112(1)()()213242212

n T n n n n n n =+-+-++-=++--+++， 所以3

22

n T n -<

.

18. 解：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形， AD =BC AD ==， 又2AB AC ==，所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥， 又PB AC ⊥，且AB PB B ?=，所以AC ⊥平面PAB ， 因为AC ?平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC .

（2）由（1）知,AC AB AC ⊥⊥平面PAB ，分别以,AB AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,2,2,0A B C AC BC ==-

由45PBA ∠=?，PB =

(1,0,1)P ，

所以(1,0,1),(1,0,1)AP BP ==-

假设棱PA 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC

设

()01AE

AP

λλ=<<， 则(,0,)AE AP λλλ==，(,2,)CE AE AC λλ=-=-， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，

则0

{ 0n BC n BP ?=?=,即2200x y x z -+=??

-+=?

，令1z =，可得1x y ==， 所以平面PBC 的一个法向量为()1,1,1n =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则

cos<,n CE >=

解得12λ=

或者

74λ=（舍）.所以存在12AE AP =，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为9

19.解：（1）：

350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565EZ =?+?

+?+?+?+?+?=.

故65μ=，

14.5=，

∴(50.579.5)0.6287P Z <≤≈，

(3694)0.9545P Z <≤≈.

∴(3694)(50.579.5)

(3650.5)0.13592

P Z P Z P Z <≤-<≤<≤≈

=

综上， (3679.5)(3650.5)(50.579.5)P Z P Z P Z <≤=<≤+<≤

0.13590.62870.8186≈+=.

（2）易知()1()2

P Z P Z μμ<=≥=

获奖券面值X 的可能取值为20，40，60，80.

X 的分布列为：

∴36EX =.

20.解：（1）2

(4,)(4,)1615PM PN b b b ?=-?--=-=，所以1b =从而C 的方程为2

214

x y +=. （2）当l 不为

x 轴时，设l ：4x my =+，11(,)A x y 、22(,)B x y .联立l 与C 的方程可得

22(4)8120m y my +++=

所以12281m y y m +=-

+，1

12

22

1+=m y y 12121212[(4)(4)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ?+?=++--+

22

12122(1220)12(1)

(1)(1)4()16164

m m y y m y y m λλλ-++=+++++=

++ 因为OA OB PA PB λ?+?为定值，所以

122012(1)14λλ-+=解得23

9

λ=.此时定值为803.

当l 为x 轴时，(2,0)A -，(2,0)B .238041293

OA OB PA PB λ?+?=-+?=. 综上，存在23

9

λ=使得OA OB PA PB λ?+?为定值803

21. 解析：（1）设()1x h x e x =--则()1x

h x e '=-，故()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.从而()(0)0e 1x

h x h x ≥=?≥+.而当[0,1)x ∈时，1

11x

x e

x e x

-≥-?≤

-. （2）设2

()()()(2sin 1)x

F x f x g x e x ax x x =-=-+-+，则(0)0F =，

()(22cos 2sin )x F x e x a x x x '=-+--.要求()0F x ≥在[0,1)上恒成立必须有(0)0F '≥.即1a ≤.

以下证明：当1a ≤时()()f x g x ≥.只要证2

12si n 1x x x x x +≥+-+，只要证2s i n x x ≥在

[0,1)x ∈上恒成立.令()2sin x x x ?=-，则()2c o s 10x x ?'=->对[0,1)x ∈恒成立，

又(0)0?=，所以2sin x x ≥.从而不等式得证.

22. 解：（1）1:0C x y m +-=，2

22:1(0)3

x C y y +=≥.

（2）设,sin )Q αα，[0,]απ∈，则Q 到1C 的距离

d

=

|2sin()m |

π

α+-=，4[,]333πππα+∈.由P 、Q

间距离的最小值为0m >时，|2|4m -=得6m =；当0m <

时，||4m =

，得4m =-

综上：4m =-6m =.

23. 解：(Ⅰ) ()12f x x +-≥可化为112

a

x x -

+-≥．

1122

a a

x x -

+-≥- ∴ 11,

2a -≥解得： 0a ≤或4a ≥． ∴实数a 的取值范围为][()

,04,.-∞?+∞ （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a

和1，当2a <时知

12

a < 所以31,2()1,1231,1a x a x a f x x a x x a x ?

-++

?=-+≤≤??

-->???由图像可知()f x 在,2a ??-∞ ???单调递减，在,2a ??+∞????单调递增，

()min 11,22a a f x f a ??

∴==-+=- ???

解得： 4 2.3a =< 4.3a ∴=