2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题
2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由;
(1) t 2
2
2dt
u d +t dt du +( t 2
-1)u=0 (2)
dx dy =x 2+y 2
; (3)dx dy +
2
x
y =0 3.求曲线族y=C 1e x
+C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e
x
2+
C 2e
x
2-是微分方程y ``
-4y=0的解,进一步验证它是通解。
5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程
dx
dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程?
7.什么是求解常微分方程的初等积分法? 8.分离变量一阶方程的特征是什么? 9.求下列方程的通解
(1)
y `=sinx
(2)
x 2
y 2
y `
+1=y (3)
tgx dx
dy
=1+y (4)
dx
dy
=exp(2x-y) (5) dx
dy =21y 2-
(6) x 2
ydx=(1- y 2
+x-2
x
2
y 2
)dx
(7)( x 2
+1)( y 2-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义
11.试给出一阶方程y `
=f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。
12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何?
13.求解下列方程
dx dy
=2
22y x xy -
14.求解下列方程
(1)(x+2y )dx —xdy=0 (2)
dx dy =x y +y x
2 15.
dx dy
=22y
x xy + 16(x 2+y 2)dx —2xydy=0 17.
dx dy =5
242+---y x x y 18―――――19
20―――――――27
28――――37
38――――44 45――――49
50――――56 57――――62 63――――68
69―――71 72――――81
82――――87 88――――92 93――――94
95――――97 98――――100
101――――105 106――――113 114――――122
2(1)未知函数u 的导数最高阶为2,u ``,u `,u 均为一次,所以它是二阶线性方程。 (2) 为y 最高阶导数为1,而y 2为二次,故它是一阶非线性常微分方程。 (3) 果y 是未知函数,它是一阶线性方程;如果将x 看着未知函数,它是一阶非线
性方程。 3. 提示:所满足的方程为y ``-2 y `+y=0 4. 直接代入方程,并计算Jacobi 行列式。 5.方程变形为dy=2xdx=d(x 2
),故y= x 2
+C
6. 微分方程求解时,都与一定的积分运算相联系。因此,把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为(一个)积分。 7. 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达,但这个积分如果不能用初等函数表示出来,我们也认为求解了这个微分方程,因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。
8. y `
=f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积,其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ,而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征,就像f(x,y)一样,p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。 9
(1) 积分得x=-cosx+c
(2) 将方程变形为x 2
y 2
dy=(y-1)dx 或1-y y 2=2x
dx
,当xy ≠0,y ≠1时积分得
22x +y+ln 1-y +x
1=c (3)方程变形为
y dy +1=x
x sin cos dx,当y ≠-1,sinx ≠0时积分得
y=Csinx-1
(4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得
exp(y)=
2
1
exp(2x)+C (5)当y ≠±1时,求得通积分ln 1
1
+-y y =x+c
(6)方程化为 x 2
ydx=(1- y 2
)(1+x 2
)dx 或2
2
1x
x +dx=y y 21-dy,积分得 x -arctgx -ln y +
2
1y 2
=C (7)当x(y 2--1)≠0时,方程变形得
x x 12+dx+1
2-y ydy
=0
两边积分并化简得 y 2
=1+
2x
C exp(-x 2
) 10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r m f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。
11.如果f(x,y)是0次齐次函数,则y `
=f(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数,则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q ≠0则
dx
dy
=-
y)q(x,y)p(x,≡ f(x,y),由p,q 为m 次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y `
=f(x,y)为齐次方程。
12. 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得
dx dy =x dx
dz
+z 13. 这是齐次方程。令y=zx,
dx dy =x dx
dz
+z,将方程化为 z+x dx dz =212z z -,并即x dx dz =231z z z -+分离变量得x dx
z z dz z -=+-)1()1(2
2积分得ln|n|+ln(z 2
+2)-ln|z|=ln|C|,或z
z x )1(2+=C 用z=y\x 代入得原来的变量。 x 2+y 2
=Cy.
注意y=0方程的解。
14.
(1)
当x ≠0时,方程化为
dx dy =1+2x
y
令y=ux,则原方程化为x dx du =1+u,当1+u ≠0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx 2+x
(2)
作变换y=ux,则原方程化为2udu=
x
dx
于是u 2=ln|x|+C,代回原变量,得通积分: y 2=x 2(ln|x|+C )
15. 这是齐次方程。令y=zx 原方程化为
-321u u +du=x dx 两边积分得 2
21z
-ln|z|=ln|cx| 用z=
x
y
代入得 y=c 1exp(2
22y x ) y=0也是原方程的解。
16.变形为
dx dy = y x 2+x y 2 ,令y=ux 得2
12u
u -==x dx 积分得-ln|1-u 2|=ln|x|--c,代原变量得通积分 x 2
- y 2
=cx
17. 方程右边分子,分母两条直线交点为(x 0 , y 0)=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为
du dv =v u u v --22,此为齐次方程,令v=uz,经简单计算得1
22--z z dz=u du
,积分得3
3)1(1u z z +-=C
原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3
+3 18―――――――19
20――――27
28―――――37
38――――44
45――――49
50――――56
57――――62 63――――68
69――――71
72――――81 82――――87
88――――92