回溯算法的应用

回溯算法的应用

课程名称：算法设计与分析

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专业班级：***************************** 指导教师：******

2013年12月27日

回溯法的应用

摘要：回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

回溯法，其意义是在递归直到可解的最小问题后，逐步返回原问题的过程。而这里所说的回溯算法实际是一个类似枚举的搜索尝试方法，它的主题思想是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的一种算法，其采用了一种“走不通就掉头”的思想，作为其控制结构。在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

全排列和求最优解问题是比较经典的问题，我们可以采用多种算法去求解此问题，比如动态规划法、分支限界法、回溯法。在这里我们采用回溯法来解决这个问题。

关键词：回溯法全排列最优值枚举

目录

第1章绪论 (4)

1.1 回溯法的背景知识 (4)

1.2 回溯法的前景意义 (4)

第2章回溯法的理论知识 (5)

2.1 问题的解空间树 (5)

2.2 回溯法的一般性描述 (6)

第3章 n的全排列 (7)

3.1 问题描述 (7)

3.2 问题分析 (7)

3.3 算法设计 (7)

3.4 测试结果与分析 (9)

第4章最优化问题 (11)

4.1 问题描述 (11)

4.2 问题分析 (11)

4.3 算法设计 (11)

4.4 测试结果与分析 (14)

第5章结论 (15)

参考文献 (16)

附件 (16)

第1章绪论

1.1 回溯法的背景知识

回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的一种算法，其采用了一种“走不通就掉头”的思想，作为其控制结构。在递归算法中，其存在的意义是在递归知道可解的最小问题后，逐步返回原问题的过程。实际上是一个类似于枚举的搜索尝试方法，他的主题思想是在搜索尝试的过程中寻找问题的解，当发现不满足条件时就回溯返回，尝试别的路径。

简单的说就是：从问题的某一种初始状态出发，依次搜寻每一种可能到达的情况，当走到这条路的“尽头”时，回过头到上一个情况，看这个情况是否还有没有走过的路，依次进行下去，直到遍历完所有的情况。

回溯法实际上是一种深度优先搜索的方式。对于回溯法解决的问题，通常将其解空间组织成图或者树的形式。对于用回溯法求解的问题，首先要将问题进行适当的转化，得出状态空间树。这棵树的每条完整路径都代表了一种解的可能。通过深度优先搜索这棵树，枚举每种可能的解的情况；从而得出结果。但是，回溯法中通过构造约束函数，可以大大提升程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，不断的将每个解与约束函数进行对照从而删除一些不可能的解，这样就不必继续把解的剩余部分列出从而节省部分时间。

1.2 回溯法的前景意义

在做题时，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。

通过运用回溯法，可以解决很多问题，譬如我们所熟知的“八皇后问题”、“0/1背包问题”，这只是在教学阶段中的运用，在实际运用中回溯法也能起到很大的作用。

回溯法适用于解决难以归纳一般规律解法的问题，其适用范围广，灵活性大，在解一些列举方法的问题时尤其可用。但是，其缺点也是明显的，即时间复杂度较大；因此在采用时我们应该因情况的不同而做出不同的选择。

第2章回溯法的理论知识

2.1 问题的解空间树

对于全排列问题。

对n位数进行全排列，知道了这个数的位数就知道有多少种排列方法，在n位数中选定一个数为首位就可以进行下面的排列。当n=4时，我们要从一个数开始排列，再进行其他两位数。假设排列从1开始出发，则可能的路径如下图2.1。

图2.1 选择的路径

活结点：不是叶结点，满足约束条件，使目标函数有所改善，儿子结点有尚未访问的（可继续搜索下去）。否则为死结点。

E-结点：扩展结点，当前正在搜索的活结点。

死结点：即如果取了这个结点，将不会有可行解。

2.2 回溯法的一般性描述

回溯法的一般描述

可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x

1，x

2

，…，x

n

）

组成的一个状态空间E={（x

1，x

2

，…，x

n

）∣x

i

∈S

i

，i=1，2，…，n}，给定关于n元

组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中

S i 是分量x

i

的定义域，且 |S

i

| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条

件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。

我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x

1，x

2

，…，

x i ）满足D中仅涉及到x

1

，x

2

，…，x

i

的所有约束意味着j（j<=i）元组（x

1

，x

2

，…，

x j ）一定也满足D中仅涉及到x

1

，x

2

，…，x

j

的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，

只要存在0≤j≤n-1，使得（x

1，x

2

，…，x

j

）违反D中仅涉及到x

1

，x

2

，…，x

j

的约束

之一，则以（x

1，x

2

，…，x

j

）为前缀的任何n元组（x

1

，x

2

，…，x

j

，x

j+1

，…，x

n

）一

定也违反D中仅涉及到x

1，x

2

，…，x

i

的一个约束，n≥i≥j。因此，对于约束集D具有

完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x

1，x

2

，…，x

j

）违反D中仅涉及x

1

，x

2

，…，

x j 的一个约束，就可以肯定，以（x

1

，x

2

，…，x

j

）为前缀的任何n元组（x

1

，x

2

，…，

x j ，x

j+1

，…，x

n

）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正

是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。