圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙

圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

圆面积公式的各种证明方法证明方法1：转化（小学段）

（1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。

（2）拼成长方形。

近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。

长方形的面积 = 长×宽

圆的面积 = πr × r

所以，圆的面积公式是：S =πr2

（3）拼成两层平行四边形（两层）

近似平行四边形的面积 = 底×高

圆的面积 = 1

2 C × 2r

= 1

2πr × 2r

所以，圆的面积公式是： S =πr2（4）用三角形（小）拼

三角形的面积 = 1

2×底×高

圆的面积 = 1

2×（

1

16× C ）× r ×16

所以，圆的面积公式是：S =πr2（5）拼成梯形

梯形的面积 = 1

2（上底+下底）×高

圆的面积 = 1

2×（

5

16 +

3

16）× C × 2r

所以，圆的面积公式是：S =πr2

拼成三角形（大）

（6）三角形的面积 = 1

2底×高

圆的面积 = 1

2×（

1

4× C ）× 4r

所以，圆的面积公式是：S =πr2

证明方法2：

半径为r的圆的圆周长为2πr

1.先将圆周等分成n份:每份长为2πr/n.

2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形.

3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式)

取极限:l im (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1

所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2

证明方法3：极限法（高中段:

以圆的正n边形表示圆的面积:

设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积: Sn=(n/2)r2sin(2π/n)

当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限):

当x→0时,lim[(sinx)/x]=1

[题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]

把Sn变形:

Sn=πr2lim[sin(2π/n)/(2π/n)]

于是,当n→∞时,2π/n→0

lim[sin(2π/n)/(2π/n)]=1

Sn=πr2

证明方法4：极坐标法

设圆的极坐标方程R(θ)=R

圆心角为dθ扇形的面积dA=1/2R^2dθ.

则圆的面积为A=∫(0-2π)dA=∫(0-2π)1/2R^2dθ=πR^2

在极坐标系中，圆心在原点，圆的半径r。取一微小的圆心角dθ，对应的弧长rdθ，由于rdθ极短，可以看成直线，则这个微小的扇形可以看成是一直角三角形，面积ds=(1/2)*r*r*dθ。

对ds积分就得到圆面积：S=∫ds=(1/2)∫(r^2)dθ（积分下限为0，上限为2π），

所以S=πr^2

证明方法5：微积分

一个圆可以看成是无数个同心圆环组成，设所求圆的半径为R，任取某一个内径为r，外径为r+dr的同心圆环，由于dr很小，可以认为将圆环沿径向剪开后，展开得到的是一个长为2πr，宽为dr的矩形（近似的),易知其面积为2πrdr。设面积微元

dA=2πrdr。A=∫2πrdr（积分下限是0，积分上限是R)=πR^2

证明方法6：见下图