竖直平面内圆周运动的临界问题及应用

五、竖直平面内的圆周运动

竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类”

绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳

类)，即只能沿某一

个方向给物体力的

作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，v gR =0

(2)小球能通过最高点的条件：v gR ≥，当v gR >时(3)小球不能过最高点的条件：v gR <，实际上球还没. 模型2：“轻杆类”

有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)：

(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临

界速度0v =0 (2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：

①当0v =时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N mg =；

②当0v gR <<时，因2v mg N m R -=,则2

v N mg m R

=-.

轻杆对小球的支持力N 竖直向上，其大小随速度的增

大而减小，其取值范围是0mg N >>． ③当v gR =时，0N =；

④当v gR >时，则2v mg N m R +=，即2

v N m mg R

=-，

杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而

增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.

小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v ≠gR (应根据具体情况具体分

析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g 换成g 月，若在其他天体上则把g 换成g 天体.

二、两种模型的应用 【例1】如图5所示，质量为m 的小球从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道

的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v Rg =临界，根据

机械能守恒定律得21

22mgh mg R mv =⋅+临界

把v Rg =临界代入上式得：min

5

2

h R =． 【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，问A 点的高度h 至少应为多少?

【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B 受到三个力作用:电场力F qE =，方向竖直向上；重力mg ；弹力N ，方向竖直向下．由向心力公式，有

2

B

v mg N qE m R

+-=

要使小球恰能通过

圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说

明小球此时处于临

界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由

此可列出小球的临界状态方程为2B

v mg qE m R -= ①

根据动能定理，有2

1()(2)2

B mg qE h R mv -⋅-= ②

解之得：min 5

2

h R =

说明 把②式中的mg qE -换成2B

v m R

，较容易求出

min 52

h R =

【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q 、质量为m 且重力大于所受电场力的小球，

从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运

图1 图2

图3 图4

图5

图6

动，问A 点的高度h 至少应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速度，临界条件是0N =．由此可列出小球的临界

状态方程为：2B

v mg qE m R

+= ①

根据动能定理，有2

1

()(2)2

B mg qE h R mv +⋅-= ②

由上述二式解得：min 52

h R =

小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度1g ”比例1中的重力加速度g 减小，例3中的“等效重力加速度2g ”比例1中的重力加速度g 增大．

例2中1v Rg =临界，2

11122

mg h mg R mv =⋅+临界；

例3中2v Rg =临界，

2

22122

mg h mg R mv =⋅+临界

．

把v 临界代入各自对应的式子，结果1mg 、2mg 分别都约去了，故

min 5

2

h R =

． 【例4】如图7所示，一个带正电q 、质量为m 的电荷，

从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度至少应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球此时处于临界状态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可列出小球的临界状态方程为

2B

B v mg qv B m R += ①

2

122B mgh mg R mv =⋅+， ②

由①式可得: 22

4()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=±+⎢⎥⎢⎥⎣⎦

因B v 只能取正值，即22

4()2B R m g v qB qB m R ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦

则2

2

22

min

242()8R m g h R qB qB R m g ⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦

【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个

带正电q 、质量为m 的电荷，从光滑的斜面轨道的A 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A 的高度h 至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ，说明小球

此时处于临界状

态，其速率B v 为临界速率，临界条件是0N =，由此可

列出小球的临界状态方程为 2B

B v mg qv B qE m R

++=

①

2

1()(2)2

B mg qE h R mv +⋅-= ②

由①式可得: 2

4()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=±+

+⎢⎥⎣⎦

因B v 只能取正值，即

2

4()()2B R m v qB qB mg qE m R ⎡⎤=

++

+⎢⎥⎣⎦

则

2

22min

42()()8()R m h R qB qB mg qE m mg qE R ⎡⎤=+++

+⎢⎥+⎣⎦

小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特

点，即都与速度v 的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是0N =．

【例6】如图9所示，

ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径

0.2m R =的半圆，

两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电

场中，场强大小35.010V/m E =⨯.一不带电的绝缘小球甲，以速度0v 沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为21.010kg m -=⨯，乙所带电荷量52.010C q -=⨯，g 取210m/s .(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)

（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离；

图7

图 8 图 9