(整理)平面向量空间向量知识点

平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.

2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示

1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r ；长度为零的向量叫做零

向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量

1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、b a +≤b a +.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.

2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度

和方向规定如下：

⑴= ⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()

0≠a a 与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理

1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任

一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算

1、 设()()2211,,,y x y x ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，

⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =?. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为

(

)

2

22

12

1,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为

(

)

333213

21,y y y x x x ++++.

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

1、 θ=?.

2、 在θ.

3、 2

=.

4、

=.

5、 0=??⊥b a b a .

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：

⑴2121y y x x +=?

2121y x +=

⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r

⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-=r r r r

2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：

()()2

12212y y x x -+-=

.

3、 两向量的夹角公式

cos a b

a b

θ?==

r r r r

4、点的平移公式

平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为

(,)PP h k '=u u u r ， 则.

x x h y y k '=+??'=+?

函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r

平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-

§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例

空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：

若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r

平行的任意非

零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：

若向量n r 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r ，如果n α⊥r

，那么向量n r

叫做平面α的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．

②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r

．

③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r

．

④根据法向量定义建立方程组0

n a n b ??=???=??r r r r .

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.

（如图）

1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行

设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、

，则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r

. 即：两直线平行或重合

两直线的方向向量共线。

⑵线面平行

①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥r r

，即0a u ?=r r

.

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行

若平面α的法向量为u r ，平面β的法向量为v r ，要证α∥β，只需证u r ∥v r ，即证u v λ=r r

.

即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直

设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r

、

，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥r r ，即0a b ?=r r . 即：两直线垂直

两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直

①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r ，则要证明l α⊥，只需证明a r ∥u r

，

即a u λ=r r .

②（法二）设直线l 的方向向量是a r ，平面α内的两个相交向量分别为m n u r u u r

、

，若0

,.0

a m l a n α??=?⊥??=??r u r r r

则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内

两条不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直

若平面α的法向量为u r ，平面β的法向量为v r ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥r r ，即证0u v ?=r r

.

即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角

已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，

则cos .AC BD

AC BD

θ?=u u u r u u u r u u u r u u u r

⑵求直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

②求法：设直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为u r ，直线与平面所成的角为θ，a r

与u r

的夹角为?， 则θ为?的余角或?的补角

的余角.即有：

cos s .in a u

a u

?θ?==r r r

⑶求二面角

①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面

二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.

如图：

②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n u r r 、

，再设m n u r r

、的夹角为?，O

A

B

O

A

B

l

二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n u r r

、

的夹角?或其补角.π?- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：

◆如果θ是锐角，则cos cos m n

m n

θ??==u r r

u r r ，

即arccos m n

m n

θ?=u r r u r r ；

◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n

m n

θ??=-=-u r r

u r r ，即arccos m n m n

θ??? ?=-

??

?

u r r u r r . 5、利用法向量求空间距离 ⑴点Q 到直线l 距离

若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a r

为直线l 的方向向量，b r =PQ uuu r ，则点Q 到直线l 距

离为

h =⑵点A 到平面α的距离

若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，

平面α的法向量为n r ，则P 到平面α的距离就等于MP u u u r

在法向量n r 方向上的投影的绝对值.

即cos ,d MP n MP =u u u r r u u u u r n MP

MP n MP

?=?r u u u r

u u u r r u u u r n MP n ?=r u u u r r

⑶直线a 与平面α之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

即.n MP

d n

?=r u u u r r

⑷两平行平面,αβ之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

即.n MP d n

?=r u u u r r

⑸异面直线间的距离

设向量n r 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP u u u r

在向量n r

方向上投影的绝对值。

即.n MP

d n

?=r u u u r r

6、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈?

?

=?⊥???⊥?

I

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈?

?

=?⊥???⊥?

I

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理

设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.

8、 面积射影定理

已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()

S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则

'cos =.S S S S θ=射原

9、一个结论

长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、

，夹角分别为

123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=

222123sin sin sin 2θθθ?++=.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.