(完整)新北师大版八年级下册《三角形的证明》(2)

三角形的证明

【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质

一般三角形

直角三角形

判定

边角边（SAS ）、角边角（ASA ）

角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等（HL ）

性质

对应边相等，对应角相等

对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等

2．证题的思路：

⎪

⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪

⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）

找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）

找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】

1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A ．SSS B ．ASA

C ．AAS

D ．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（ ）

A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌ΔAD

E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40°

B ．35°

C ．30°

D ．25°

4．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .

5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．

图5－7

【巩固练习】

1．下列说法正确的是（）

A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等

C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等

2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌

△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙

4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．

（1）请证明AD＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗?

图4－9

5．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

图4－10 （2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

图4－11

【知识点二：等腰三角形的判定与性质】

等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；

②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．

【典型例题】

1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）

A．12 B．15 C．12或15 D．18

2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）

A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6

4．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，

要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．

6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求

证：MD=MA.

【巩固练习】

1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）

A．30°B．40°C．50°D．70°

2．下列说法错误的是（）

A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等

B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等

C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等

D．两个等边三角形全等

3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B 在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条

件的C点的个数为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）