湖北省部分重点中学2021届高三上学期第一次联考数学试题

湖北省部分重点中学2021届高三第一次联考

高三数学试卷

考试时间：2020年11月13日上午7:30一9:30试卷满分：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数z =134i +,则下列说法正确的是（）

A.复数z 的实部为3

B.复数z 的共轭复数为34i 2525+B.复数z 的虚部为4i 25 D.复数z 的模为l

2.已知集合A ={-2,-1,1,2,4},B ={y |y =log 2|x |,x ∈A },则A B =()

A.{-2,-1,1}

B.{-1,1,2}

C.{-1,1}

D.{-2,-1}3.已知a ,b 是平面向量，如果|a |=6，|b |=3,(a +2b )⊥(2a -b ),那么a 与b 的数量

积等于(

)A.-2 B.-1 C.2 D.324.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算;1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系．对数源于指数，对数的发明先于指数，这已经成为历史珍闻．若e x =2.5,lg2=0.3010,lge=0.4343，根据指数与对数的关系，估计x 的值约为（）

A.0.4961

B.0.6941

C.0.9164

D.1.469

5.巳知a ,b 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)

A.若α?β=a ,β?γ=b ,a//b ，则α//γ

B.若a //b ,a ⊥α,α⊥β,则b //β

C.若α⊥β,α?β=a ,a ⊥b ，则b ⊥α

D.若a ⊥α,b ⊥β, α⊥β,则a ⊥b 6.若3ππ(π,

2sin()24ααα∈=+，则sin2α的值为（）A.7

8- B.7

8 C.1

8

D.1

8-7.若函数()2sin cos f x ax a x x =--是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是() A.3(,]

3-∞ B.3[)3+∞ C.(-∞ D.)

+∞

8.对于函数()2|sin |cos f x x x =，下列关于说法中正确的是（

）A.图像关于直线x =

π4对称 B.在ππ(,44-上单调递增C.最小正周期为π D.在(0,π)上有两个极值点

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知数列{a

n }满足：a 1=2,当n ≥2时，21)2n a =+-，则关于数列{a n }的说法正确的是（）

A.a 2=7

B.数列{a n }为递增数列

C.a n =n 2+2n -1

D.数列{a n }为周期数列

10.以下说法，错误的是（）

A.0,x ?∈R 使00e 1x x <+成立

B.θ?∈R ,函数f (x )=sin(2x +θ)都不是偶函数

C.a ,b ∈R ,a >b 是a |a |>b |b |的充要条件

D.在△ABC 中，“sin A +sin B =cos A +cos B ”是“C =π2

”的充要条件11.若函数32()f x x ax bx c =+++(其中a ,b ,c ∈R )的图像关于点M (1,0)对称，且f (0)=1,函数f '(.x )是f (x )的导函数，则下列说法中正确的有(

)

A.函数y =f (x +l )是奇函数

B.f (x -1)+f (1-x )=0

C.x =1是函数y =f '(x )的对称轴

D.f '(1)=012.我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童如图刍童．如图刍童ABCD -EFGH 有外接球，且AB =5,AD =7,EF =4,EH =2,平面ABCD 与平面EFGH 的距离为1,则下列说法中正确的有(.

)A .该刍童外接球的体积为36π

B.该刍童为棱台

C.该刍童中AC 、EG 在一个平面内

D.该刍童中二面角B -AD -H 的余弦值为55

.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数f (x )=x ln.x 在点P (e,e )处的切线方程为.

14.在△ABC 中，∠B =∠C =75?,BC =2,则AB =

.15.已知三棱锥P -ABC 的四个表面都是直角三角形，且PA ⊥平面ABC ,PA =AB =

2,AC =4,则该三棱锥的体积为

16.若正实数.x ,y 满足x y 2(x +y )=9,则2.x +y 的最小值为

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b =c (cos A -sin A ).

(1)求角C ,

(2)若c =25，D 为边BC 的中点，在下列条件中任选一个，求AD 的长度．

条件①△ABC 的面积S =2,且B >A ;

条件②cos B =255

.（注，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）

18.数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)?2n +1+2(n ≥l),

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设21,n n n

n b S a +=为数列{b n }的前n 项和，求S n .19.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA =BD =3AB =23．且PB =PD .

(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ;

(2)若PA ⊥AC ,棱PC 上一点M 满足BM ⊥MD ，求直线BD 与平面ABM 所成角的正弦．

20.已知A 是椭圆22:143x y E +=的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A 、M 两点，点N 在E 上，且0AM AN = .

(1)当|AM |=|AN |时，求△AMN 的面积；

(2)当19|

AM |=8|AN |时，求k 的值．

21.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，

国际上常用身体质量指数(英文为Bod y Mass Index ,简称BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是

(kg)

BMI ()

=２２体重单位：身高单位：m 中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常；24≤BMI<27.9为偏胖；B M I ≥28为肥胖．

某地区随机调查了6000名35岁以上成人的身体健康状况，其中有1000名高血压患者，得到被调查者的频率分布直方图如图：

(1)求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值μ；

(2)根据频率分布直方图，完成下面的2?2列联表，并判断能有多天（百分数）的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关？

22.已知函数()(,1)x a f x a x a a =-∈>R 定义域为(0,＋∞).

(1)若f (x )在(0,+∞)上有且只有一个零点；求实数a 的值；

(2)当a =e 时，若f (x )≥l +λx 2-x e 在(0,＋∞)上恒成立，求整数λ的最大值.(注:其中e 是自然对数的底数，e 0·5≈1.65,e ≈2.72,e 1·5≈4.48,e 1.6≈4.95)