《理论力学》习题三答案

《理论力学》习题三答案

一、单项选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分）

1. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来（ C ）。 A 、分析力的变化规律； B 、建立质点运动微分方程； C 、确定积分常数； D 、分离积分变量。

2. 在图1所示圆锥摆中，球M 的质量为m ，绳长l ，若α角保持不变，则小球的法向加速度为（ C ）。

A 、αsin g ；

B 、αcos g ；

C 、αtan g ；

D 、αtan gc 。

3. 已知某点的运动方程为2

bt a S +=（S 以米计,t 以秒计，a 、b 为常

数），则点的轨迹为（ C ）。

A 、是直线；

B 、是曲线；

C 、不能确定；

D 、抛物线。

4. 如图2所示距地面H 的质点M ，具有水平初速度0v ，则该质点落地时的水平距离l 与（ B ）成正比。

A 、H ；

B 、H ；

C 、2H ；

D 、3

H 。

5. 一质量为m 的小球和地面碰撞，开始瞬时的速度为1v ，碰撞结

束瞬时的速度为2v

（如图3），若v v v ==21，则碰撞前后质点动量的变化值为（ A ）。

A 、mv ；

B 、mv 2 ；

C 、mv 3；

D 、 0。

6. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量（ B ）。 A 、平行； B 、垂直； C 、夹角随时间变化； D 、不能确定。

7. 三棱柱重P ，放在光滑的水平面上，重Q 的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系统在运动过程中（ A ）。

A 、沿水平方向动量守恒，机械能守恒；

B 、动量守恒，机械能守恒；

C 、沿水平方向动量守恒，机械能不守恒；

D 、均不守恒。

图

1

图

2

图3

8. 动点M 沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（ A ）。

A 、若始终有a v

⊥，则必有v 的大小等于常量；

B 、若始终有a v

⊥，则点M 必作匀速圆周运动； C 、若某瞬时有v ∥a ，则点M 的轨迹必为直线；

D 、若某瞬时有a 的大小为零，且点M 作曲线运动，则此时速度必等于零。

9、作一维运动的简谐振子，其拉格朗日量可写为（ A ）。

A 、

221122L mx kx =

- B 、212L mx = C 、212L kx =- D 、0L =

10、一实心圆柱体，沿一斜面无滑动的滚下，下列说法正确的是（ A ）。 A 、机械能守恒，动量矩不守恒。 B 、质心动量守恒。 C 、机械能不守恒，动量矩守恒。 D 、没有守恒量

11. 匀质杆AB 重G ，其A 端置于光滑水平面上，B 端用绳悬挂，如图4所示，取坐标系O-xy ，此时该杆质心C 的x 坐标0=c x ，若将绳剪断，则（ C ）。 A 、杆倒向地面的过程中，其质心C 运动的轨迹为圆弧； B 、杆倒至地面后, 0>c x ； C 、杆倒至地面后, 0=c x ； D 、杆倒至地面后, 0

12. 如图所示平面机构，CD 连线铅直，杆BC=BD ，在如图5所示瞬时，角0

30=?，杆AB 水平，

则该瞬时点A 和点C 的虚位移大小之间的关系为 （ C ）。

A 、

C

A r r δδ2

3

=； B 、C A r r δδ3=；

C 、

C

A r r δδ23

=

； D 、C A r r δδ21=。

13. 匀质圆盘半径为r ，质量为m ，在半径为R 的固定圆柱面内纯滚动,如图6所示,则圆盘的动能为（ D ）。

A 、

2

A 2mr 4

3ω=

T ； B 、

22mR 43

? =

T ；

图 4

·

O A

C B

y C

图5

?

O

B

A

D

r

A

A

ωO ?

R

C 、

22r)-m(R 21?

=

T ； D 、

()22r -R m 43? =T 。

14. 一匀质杆OA 与匀质圆盘在圆盘中心A 处铰接，在如图7示位置时，OA 杆绕固定轴O 转动的角速度为ω，圆盘相对于杆OA 的角速度为ω，设OA 杆与圆盘的质量均为m , 圆盘的半径为R ，杆长R L 3=，则此时该系统对固定轴O 的动量矩大小为（ C ）。

A 、ω2022mR J =

B 、ω2

05.12mR J = C 、ω2

013mR J = D 、

ω2012mR J =

15. 某瞬时，刚体上任意两点A 、B 的速度分别为A v 、B v

，则下述结论正确的是

（ C ）。

A 、当

B A v v

=时，刚体必作平动； B 、当刚体作平动时，必有

B

A v v

=，但A v 与A v 的方向可能不同；

C 、当刚体作平动时，必有B A

v v

=； D 、当刚体作平动时，A v 与A v 的方向必然相同，但可能B

A v v ≠。

16、三力平衡定理是（ A ）。

A 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；

B 共面三力若平衡，必汇交于一点；

C 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。

17、空间任意力系向某一定点O 简化，若主矢0≠'R ，主矩00≠M ，则此力系简化的最后结果（ C ）。

A 可能是一个力偶，也可能是一个力；

B 一定是一个力；

C 可能是一个力，也可能是力螺旋；

D 一定是力螺旋。

A

ω

O

ω

图7

18、如图8所示， P 60kM ，T F =20kN ，A, B 间的静摩擦因数s f =0.5，动摩擦因数f =0.4，则物块A 所受的摩擦力F 的大小为（ C ）。

A 25 kN ；

B 20 kN ；

C 310kN ；

D 0 19、点作匀变速曲线运动是指（ C ）。 A 点的加速度大小a =常量； B 点的加速度a =常矢量； C 点的切向加速度大小τa =常量； D 点的法向加速度大小n a =常量。

20边长为a 2的正方形薄板，截去四分之一后悬挂在A 点，今若使BC 边保持水平，则点A 距右端的距离x= （ D ）。

A a ；

B 3a/2；

C 6a/7；

D 5a/6。

21、下述刚体运动一定是平动的是（ D ）。

A 、刚体运动时，其上有不在一条直线上的三点始终作直线运动；

B 、刚体运动时，其上所有的点到某固定平面的距离始终保护不变；

C 、刚体运动时，其上有两条相交直线始终与各自初始位置保持平 行；

D 、刚体运动时，其上有不在一条直线上的三点的速度大小方向始终 相同。

22、点作曲线运动时下列说法正确的是（ B ） A. 若切向加速度为正，则点作加速运动；

B. 若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动；

C. 若切向加速度为零，则速度为常矢量；

D.以上说法都不正确

图8

T

F P

A

B

30A

a C

B

x

a

a

a

23、半径为a ，质量为M 的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度ω转动，则绕此轴的动量矩为（ A ）。

A 、213J Ma ω=，

B 、212J Ma ω=，

C 、223J Ma ω=，

D 、22

5J Ma ω

=

24、对于空间转动参照系，科里奥利力定义为（ C ）。

A 、'v ω?，

B 、'2m v ω?

C 、'2m v ω-?

D 、'm v ω-?

25、在有心力场中运动的质点，下列说法正确的是（ B ）。 A 、动量守恒，角动量守恒，机械能守恒。 B 、动量不守恒，角动量守恒，机械能守恒。 C 、角动量不守恒。 D 、机械能不守恒。

26、细杆绕通过杆的一端O 点的水平轴转动，在重力作用下，当无初速地自水平位置转到竖直位置时，细杆的角速度ω为（ C ）。

A 、

g ω=

； B 、

32g ω=

； C 、3g ω=； D 、6g

ω=

。

27、质量为1m 和2m 的两自由质点互相吸引，它们之间的引力势能为

12

km m r -

，开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a ，当两质点的距离为1

2a

时，质量为1m 的质点的速度可表为

（A ）。

A 、

12

122()

k

v m a m m =+B 、

11122()

k v m a m m =+C 、

12

1

2k v m am =D 、

12

2

2k v m am =

28、自由质点在球坐标系下的拉格朗日量为（设势能为()V r ）（ A ）。

A 、

2222221()()2L m r r r Sin V r θθ?=

++- B 、2221

()2L m r r θ=+ C 、

212L mr =

D 、22212L mr Sin θ?=

29. 某瞬时，平面运动刚体的绝对角速度和角加速度分别为ω和α，相对某基点A 转动角速度和角加速度分别为A ω和A α，相对基点B 转动角速度和角加速度分别为B ω和B α，则应有（ B ）。

A 、ωωω≠=

B A ，ααα≠=B A ； B 、ωωω==B A ，ααα==B A ；

C 、ωωω≠≠B A ，ααα≠=B A ；

D 、ωωω==B A ，ααα≠≠B A 。 30. 刚体绕同平面内任意二根轴转动的合成运动（ D ）。 A 、一定是平面运动； B 、一定是平动； C 、一定是定轴转动； D 、是绕瞬轴的转动。

二、判断题（本大题共20小题，每小题2分，共40分，正确填“T ”，错误填“F ”）

1、法向加速度是因为速度的大小变化所引起的。（ F ）

2、非保守力做功与路径无关。（ F ）

3、在有心力场中运动的质点角动量守恒，机械能守恒。（ T ）

4、内力不改变质点组的总动能。（ F ）

5、刚体作定点转动的自由度是3。（ T ）

6、作用在刚体上的力可沿作用线移动而作用效果不变。（ T ）

7、若作用在刚体上的所有外力的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。（ F ）

8、由于地球是一个转动参照系，惯性离心力的作用将使重力加速度随着纬度而变化。（ T ） 9、自由落体偏东是科里奥利力的影响。（ T ）

10、虚位移是约束许可的条件下，可能发生的位移，是不需要时间的。（ T ） 11、切向加速度是因为速度的方向变化所引起的。（ F ） 12、保守力作功与路径无关。（ T ）

13、在有心力场中运动的质点动量守恒。（ F ） 14、内力不改变质点组的总动量。（ T ） 15、刚体作一般运动时，自由度是6。（ T ） 16、内力不改变质点组质心运动状态。（ T ）

17、若作用在刚体上的所有外力的力矩的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。（ F ） 18、轨道磨损和河岸冲刷是科里奥利力的影响。（ T ） 19、质点发生实位移是需要时间的。（ T ）

20、在稳定约束的情况下，实位移是虚位移中的一个。（ T ）

1.（20分） 半径为R 的半圆形凸轮D 以等速v 0沿水平线向右运动，带动从动杆AB 沿铅直方向上升，如图所示，求φ=30゜时杆AB 相对于凸轮的速度和加速度。 1. 解：以杆AB 上点A 为动点，凸轮D 为动系。

（1）速度a e r v v v =+

0e v v = 由几何关系得

023

cos 3

e r v v v φ=

= （2）加速度

0e a =

n t a r r a a a =+

220

43n r r

v v a R R ==

由几何关系得2

43tan 9t n r

r

v a a R

φ=?=

2

20

83()9n t r r

r

v a a a R

=+

2.（20分）如图所示，均质细杆AB 长l ，质量为m ，由直立位置开始滑动，上端A 沿墙壁向下滑，下端B 沿地板向右滑，不计摩擦。求细杆在任一位置φ时的角速度ω、角加速度α和A ，B 处的约束力。 解：细杆质心

cos ,sin 22

c c l l

x y φφ=

= 上式对t 求导，注意到

φω=-

得sin 2c l

x ωφ=

cos 2c l

y ωφ=-

2(sin cos )2c l

x αφωφ=-

2(cos sin )2

c l

y αφωφ=-+

由动能定理

2211

(1sin )62

m l mg ωφ=-（1） 上式对t 求导得

211

cos 32

ml mgl ωαφω=?（2） 由（1）（2）解得33(1sin ),cos 2g g

l l

ωφαφ=

-= 由质心运动定理,c A c B mx F my F mg ==- 得92

cos (sin ),43

A F mg φφ=

- 1219sin (sin )43B F mg φφ?

?=+-???

?

3.（20分）在正方形的顶角A 和B 处，分别作用力F 1和F 2，如图所示。龟兹两力在x ，y ，z 轴上的投影和对x ，y ，z 轴的矩。试将图中的力F 1和F 2向点O 简化，并用解析式计算其大小和方向。 解：

另正方形边长为a ，则有 投影：113

3

x F F =-

1133

y F F =-

113

3

z F F =

（1） 主矩13

3

x M F a =

13

3

y M F a =-

0z M = （2） 投影：2222222,0,22x y z F F F F F =

== （3） 主矩：2222,0,22

x y z M F a M M F a =

==- （4）

由（1）（3）给出 主矢：1211232332

()()32332

R F F F i F j F F k =-

+-?++ 主矩：12123232(

)3232

M F F ai F aj F a k =+--?