九年级 二次函数综合测试卷(word含答案)

九年级二次函数综合测试卷（word含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x

﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝1

2

x2﹣

3

2

x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值

为4；（3）Q的坐标为（5

3

，﹣

28

9

）或（﹣

11

3

，

92

9

）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；

（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1

2

x2﹣

3

2

x﹣2），进而根据S

＝S△PHB+S△PHC＝1

2

PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解；

（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．

【详解】

解：（1）对于直线y＝1

2

x﹣2，

令x＝0，则y＝﹣2，

令y＝0，即1

2

x﹣2＝0，解得：x＝4，

故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），

将点C的坐标代入上式并解得：a＝1

2

，

故抛物线的表达式为y＝

1

2

x2

﹣

3

2

x﹣2①；

（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，

设点P（x，

1

2

x2﹣

3

2

x﹣2），则点H（x，

1

2

x﹣2），

S＝S△PHB+S△PHC＝

1

2

PH?（x B﹣x C）＝

1

2

×4×（

1

2

x﹣2﹣

1

2

x2+

3

2

x+2）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；

（3）①当点Q在BC下方时，如图2，

延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，

则点C是RQ的中点，

在△BOC中，tan∠OBC＝

OC

OB

＝

1

2

＝tan∠ROC＝

RC

BC

，

则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22

(2)

x x

5＝BQ，

在△QRB中，S△RQB＝

1

2

×QR?BC＝

1

2

BR?QK，即

1

2

2x?2x＝

1

2

5，

解得：KQ

5

∴sin∠RBQ＝

KQ

BQ

5

5x

＝

4

5

，则tanRBH＝

4

3

，

在Rt △OBH 中，OH ＝OB?tan ∠RBH ＝4×

43＝163，则点H （0，﹣16

3

）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝4

3

（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53

， 当x ＝

53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，

同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929

）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929

）． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．

2．在平面直角坐标系中，抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的

1

4

时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）2

2y x x =-++；（2）存在，（

23，209）或（10

3，529

-）；（3）

5

或 【解析】 【分析】

（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出

∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】

解：（1）∵抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），

则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?

，

∴抛物线的解析式为2

2y x x =-++； （2）存在，理由是：

在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在2

2y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），

∴=， 在△BDE 中，有

12×BE ×OD=1

2

×BD ×EF ，

即2×EF ，解得：，

∴，

∴tan ∠BDE=

EF DF =55

÷=4

3， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ，

∵BE=2，

则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，

∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，

∴tan ∠PBC=

PG BG =221

c c c -+++=4

3， 解得：c=

2

3

， ∴22c c -++=

209

， ∴点P 的坐标为（

23，209

）；

当点P 在第四象限时，

同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，

tan ∠PBC=PG BG =221

c c c --+=4

3，

解得：c=

10

3

， ∴22c c -++=529

-

， ∴点P 的坐标为（

103，529

-）， 综上：点P 的坐标为（

23，209）或（10

3，529

-）；

（3）设EF 与AD 交于点N ，

∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ， 则422m n n -=-+??

=?，解得：3

2m n =??=?

，

∴直线AD 表达式为y=3x+2， 设点M 的坐标为（s ，3s+2），

∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，

则11114202m n m n -=-+??=+?，解得：11

1

2m n =??=-?，

∴直线AC 表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2）， 可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，

∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ， 由题意可得：

当点F 在直线AC 上方时， ∴S △MNE =

14

S △AMC =12S △AME =1

2S △FME ，

即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，

∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=

12AC=22

1442

+22 ∵M （s ，3s+2）， ()

()2

2

23222s s -++=

解得：s=4

5

-

或0（舍），

∴M （45-

，2

5

-）， ∴AM=2

2

422455????-++-+ ? ?????

=

6105，

当点F 在直线AC 下方时，如图， 同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，

由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，

综上：AM 的长度为10

5

或22 【点睛】

本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．

3．在平面直角坐标系中，将函数2

263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；

（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；

（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ????+ ? ?????

，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．

【答案】（1）0a =或3a =-；（2）

118；（3）21136x -<<-；（4）1

8

m <-或1

16

m >-

【解析】 【分析】

（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】

解：（1）当1m =-时，()2

2613y x x x =++≥

把(),1P a 代入，得

22611a a ++=

解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<

当0m ≤时，2

22

3926=2()22

y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ??

--

???

此时，229911=()22918

m m m -

--++ ∴0y 的最大值1

18

=

综上所述，0y 的最大值为

118

（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0

当抛物线顶点在x 轴上时，2

2

=4(6)42()=0b ac m m -=--??-△ 解得：m=0（舍去）或29

m =-

由题意可知抛物线的对称轴为直线x=3

2

m 且x ≥3m

∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是

21136

x -<<- （4）18m <-或1

16

m >- 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为

()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233y x x =-

++；（2）当9

2n =时，PBA S ?最大值为818

；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析

【解析】 【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 2

1,233

n n n ?

?-++ ??

?

求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.

(3) 求点D 的坐标，设D 2

1,233

t t t ??-++ ??

?

,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使

60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对

的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】

解：()1抛物线顶点为()3,6

∴可设抛物线解析式为()2

36y a x =-+

将()0,3B 代入()2

36y a x =-+得

396a =+ 1

3

a ∴=-

∴抛物线()2

1363y x =-

-+，即21233

y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，

PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-

设P 点坐标为2

1,233

n n n ??-++ ??

?

1133222

BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???

=

=-++=-++ ???

11933222

ABO S OA BO ?=

=??= 2

2231

99191981322

2222228PBA

S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9

2n =

时，PBA S ?最大值为818

()3存在，设点D 的坐标为2

1

,233

t t t ??-++ ??

?

过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则2

13,6233

DG t CG t t ??=-=--++ ???

30ACD ∠=

2DG DC ∴= 在Rt CGD ?中有

222243CG CD DG DG DG DG =+=-=

)21336233t t t ??

-=--++ ???

化简得(1133303t t ??

---= ???

13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+

3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中

229276AD AG GD ++=

6,120AD AC CAD ∴==∠=

Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上

此时1

602

CQD CAD ∠=

∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径

则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32

即2936m +=

∴1233,33m m ==-

综上所述，Q 点坐标为()()

0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

5．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数

()0k

y x x

=

>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”

（1）当1n =时．

①求线段AB 所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围． 【答案】（1）①1944y x =-

+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当9

2

x =时，k

有最大值

8116

；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；

【解析】 【分析】

（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则219

44

k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；

（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k

x

），则得到2210

44

n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b

a -

≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】

解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则

251a b a b +=??

+=?，解得：14

94a b ?=-????=??

， ∴19

44

y x =-

+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得19

44

y x =-

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 1944

k x x =-+， ∴22191981

()444216

k x x x =-+=--+； ∵1

04

-

<， ∴当9

2x =

时，k 有最大值8116

； 当1x =时，k 有最小值2；

∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在9

2

x =

的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则

25a b a b n +=??

+=?，解得：24

104n a n b -?=???-?=??

， ∴21044

n n

y x --=

+， 设点P 为（x ，

k

x

），由点P 在线段AB 上则 2210

44

n n k x x --=

-， 当

2

04

n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：10

10

42242

n n x n n --==--；

∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．

即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当

2

04

n ->时，有 ∴2

04

10124n n n -?>???-?≤?-?

，解得：26n n >??≥-?，

∴不等式组的解集为：2n >； 当

2

04

n -<时，有 ∴2

0410524n n n -?

，解得：

10

29n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：10

9

n ≥

．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．

6．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点

C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6

x

(x＞0)

经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(5

7

，0)，F(0，

5

3

)；（3）t=9﹣15

【解析】

【分析】

（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】

解；（1）C(0，3)

∵CD⊥y，

∴D点纵坐标是3．

∵D在y=6

x

上，

∴D(2，3)，

将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，

∴a=﹣1，b=2，

∴y=﹣x2+2x+3；

（2）M(1，4)，B(3，0)，

作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，

则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，

∴M'D'直线的解析式为y=﹣7

3

x+

5

3

，

∴N(5

7

，0)，F(0，

5

3

)；

（3）设P(0，t)．

∵△PBO和△CDP都是直角三角形，

tan∠CDP=3

2

t

，tan∠PBO=

3

t

，

令y=tan∠BPD=3 2

3

3

1

23

t t

t t

-

+

-

-

，

∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，

△=﹣15y2+30y+1=0时，

y=

15415

15

-+

-

(舍)或y=

15415

15

+

，

∴t=

3

2

﹣

1

2

×

1

y

，

∴t=9﹣215，

∴P(0，9﹣215)．

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．

【解析】

【分析】

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；

（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：

①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；

②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；

（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

将C（0，3）代入上式，得：

3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）分两种情况：

①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；

令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；

∵点A在点B的右边，

∴B（1，0），A（3，0）；

∴P1（1，0）；

②当点A为△AP2D2的直角顶点时；

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAD2=45°；

当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，

∴AO平分∠D2AP2；

又∵P2D2∥y轴，

∴P2D2⊥AO，

∴P2、D2关于x轴对称；

设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．

将A （3，0），C （0，3）代入上式得：

30

3

k b b +=??

=? ， 解得1

3

k b =-??

=? ；

∴y=﹣x+3；

设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；

解得x 1=2，x 2=3（舍去）；

∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，

解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，

即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.

8．如图，抛物线2

y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为

3,0，点C 的坐标为()0,3．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线

AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作

QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面

积；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．

【答案】（Ⅰ）2

23y x x =--+；（Ⅱ）1

2

；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；

（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；

（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求2FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解． 【详解】

解:（Ⅰ）依题意()()2

330

{3

b c c --+?-+==

解得2

{

3

b c =-= 所以2

23y x x =--+