“直角三角形”中考试题分类汇编(含答案).

18、直角三角形

要点一：勾股定理及其逆定理 一、选择题

1．（2009·达州中考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）

A ．13

B ．26

C ．47

D ．94

【解析】 选C ∵正方形A 和正方形B 的边长分别为3、5，所以与正方形E 相邻的直角三形的一直角边的平方为34，又因为正方形C 和正方形D 的边分别为2、3，所以正方形E 相邻的直角三角形的另一条直角边的平方为13，所以正方形E 的面积为47. 2、（2009·滨州中考）如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8， 则边BC 的长为（ ） A ．21

B ．15

C ．6

D ．以上答案都不对

答案：选A 二、填空题

3、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 ．(写出一组即可)

【解析】只要是勾股数即可。

4、(2009·湖州中考)如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．

【解析】因为2

2

2

AB BC AC =+,而1S =4AC 212??π,2S =4

BC 212

??π,

所以1S +2S =4AC 212??π+4BC 212??π=）（2

2BC AC 4

21+?π

=

;2164

21AB 4212ππ

π=??=? 5.（2009·长沙中考）如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若

5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．

【解析】由AB AC =，AD 是底边上的高得BD=CD=3cm,由勾股定理得

cm AD 43522=-=

答案：4

6.（2009·安顺中考）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt △ABC 中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。

【解析】如图，,6,1351222==+=BE BD ∴风车的外围周长=4×(13+6)=76

答案：76

7、（2009·宜宾中考）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若

斜边AB＝3,

则图中阴影部分的面积为

．

A

B

C

E

F

H

第12题图

答案：

2

9

．

8、（2008·台州中考）如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为

a b c

，，；A B N E F

，，，，五点在同一直线上，则c=（用含有a b

，的代数式表示）．

答案：22

a b

+

9、（2007·徐州中考）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC

进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=_______cm．

答案：

15

8

三、解答题

10、（2009·张家界中考）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的

长就可以求出其它各边的长，若已知2

CD=，求AC的长．

M

【解析】2BD CD ==Q ，222222BC ∴=

+=

设AB x ∴=，则2AC x =，222

(22)(2)x x ∴+=

26x ∴=

，4

263AC AB ==11、（2009·白银中考）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，

D 为AB 边上一点，求证：

（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．

证明:（1） ∵ ACB ECD ∠=∠， ∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠． 即 ACE BCD ∠=∠． ∵ EC DC AC BC ==,， ∴ △ACE ≌△BCD ．

（2）∵ ACB ?是等腰直角三角形， ∴ ?=∠=∠45BAC B ．

∵ △ACE ≌△BCD ， ∴ ?=∠=∠45CAE B ． ∴ ?=?+?=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ． ∴ 2

22DE AE AD =+． 由（1）知AE ＝DB ， ∴ 2

2

2

AD DB DE +=．

12、（2009·新疆中考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是

a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的

图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．

【解析】方法一解：（1）如图

（2）证明：Q 大正方形的面积表示为2

()a b +,大正方形的面积也可表示为

2142c ab +?,221

()42

a b c ab ∴+=+?，22222a b ab c ab ++=+，

222a b c ∴+=．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 方法二解：（1）如图

（2）证明：Q 大正方形的面积表示为：2

c ， 又可以表示为：

21

4()2

ab b a ?+-, 221

4()2

c ab b a ∴=?+-，22222c ab b ab a =+-+，

222c a b ∴=+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

13、（2007·聊城中考）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；

（2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=o

，且B C D ，，三点共线． 试证明90ACE ∠=o

；

（3）伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

【解析】（1）这个公式为2

2

2

()2a b a ab b +=++． （2）ABC CDE ∵△≌△，BAC DCE ∠=∠∴．

90ACB DCE ACB BAC ∠+∠=∠+∠=∴°．

由于B C D ，，共线，

所以180()ACE ACB DCE ∠=-∠+∠°1809090=-=°°°．

（3）梯形ABDE 的面积为

2111()()()()

222

AB ED BD a b a b a b +=++=+·； 另一方面，梯形ABDE 可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成

2111

222

ab ab c ++． 所以，2

21111()2222

a b ab ab c +=++．

即2

2

2

a b c +=． 要点二、勾股定理的应用 一、选择题

1．（2010·眉山中考）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

C

B

A

【解析】：选C.根据勾股定理可知AC 2=2221+=5, BC 2=2

221+=5, AB 2=2

2

31+=10,∴AC=BC AC 2＋BC 2＝5+5＝10＝AB 2 ∴⊿ABC 是等腰直角三角形且∠ACB ＝90o， ∴∠ABC=∠BAC=45o

2、（2009·衡阳中考）如图所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点

C ．AC 中点

D ．∠C 的平分线与AB 的交点

【解析】选A 因为AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，所以2

2

2

AC BC AB +=,

所以三角形ABC 为直角三角形，所以其斜边上的中线等于斜边的一半；故选A ； 3、(2009·恩施中考) 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A

． B ．25 C

．5 D ．35

【解析】选B 将面AC 沿正方体的一条棱展开，得AC=；25201522=+ 所以线段AB=25； 二、填空题

4、（2009·滨州中考）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，

90C ∠=°，

因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．

【解析】因为30BAC ∠=°且90C ∠=°，所以地毯的长度为

；

3224-1642

1

BC -AB AB 2122+=+?=+?答案：（2+23）米； 5、（2009·内江中考）已知Rt △ABC 的周长是344+，斜边上的中线长是2，则S △ABC ＝____________.

【解析】 因为△ABC 斜边上的中线长为2，又因为△ABC 为直角三角形， 所以其斜边长为4，又因为周长为344+，所以两条直角边之和为34， 所以两直角边的积为16，所以S △ABC ＝8； 答案：8；

6、（2009·青岛中考）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；

B

C A

30°

如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．

【解析】由题意得：细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，其最短长度为将长方体的四个侧面展开即可构成一个直角边分别为8cm 和6cm 的直角三角形，所以细线的最短长度应为10cm ；当细线绕四个侧面缠绕n 圈时，到达点B 最短长度为

22916n +（或23664n +）cm ；

答案：10cm ，22916n +（或23664n +）cm ；

7、（2008·株洲中考）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.

【解析】如图，由勾股定理得54322=+=AB ，这棵树折断之前的高度3+5=8（米）

答案：8

8、（2007·扬州中考）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

【解析】路54322=+=（m ）,他们仅仅少走了(3+4-5)×2=4步路.

答案：4

9、（2007·怀化中考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是

2

π

，高为2，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是

（结果保留根号）.

答案：22 二、解答题

10、（2009·临沂中考）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l

的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45o

方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

【解析】（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°．

ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．

2AO ∴=，22BO =

∴A B ，两村的距离为22232AB AO BO =+==km ）．

方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ． 易证四边形CDBE 是矩形，

∴2CE BD ==．

在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．

∴AB ==km ）

∴A B ，

两村的距离为．

（2）作图正确，痕迹清晰．

作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于1

2

AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ；

②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．

11、（2009·牡丹江中考）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在

要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

【解析】在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°，，由勾股定理有：10AB =，扩充部分为Rt ACD △，扩充成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图1，当

10AB AD ==时，可求6CD CB ==,得ABD △的周长为32m ．②如图2，当

10AB BD ==时，可求4CD =,

由勾股定理得：AD =,得ABD △

的周长为

(20m +．③如图3，当AB 为底时，设AD BD x ==，则6CD x =-，由勾股定理得：253x =

,得ABD △的周长为80

m 3

． B

A C

D

l

N M

O

P

12、（2008·广东中考）如图，在ΔABC 中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC 边上的

中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长． 【解析】（1）作图略

（2）在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的中线， ∴AD ⊥BC ， 11

8422

BD CD BC ==

=?=. 在Rt △ABD 中，AB ＝10，BD ＝4，2

2

2

AD BD AB +=， 2222104221AD AB BD ∴-=-=.

∴?=∠70A ，?=∠90B ，?=∠140C