(完整版)解三角形题型总结(最新整理)

解三角形题型分类解析

1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）

12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）

2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R

===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C

=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C

===做题大法：

1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a B

A b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）

思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A b

B A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据

sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边；

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；

已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:

A

R sin 2a =B R sin 2b =B R

sin 2c =

如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A

如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.

3、余弦定理及其推论

2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

=+-=+-=+-222

222

222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc

a c

b B ac

a b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式

（1）；高底⨯⨯=

∆21ABC S （2）（两边夹一角）；B ca A bc C ab S ABC sin 2

1sin 21sin 21===∆6、三角形中常用结论

（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）

（3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。2

sin 2cos ,2cos 2sin

C B A C B A =+=+分类题解：

类型一：正弦定理

1、计算问题：

例1、 （2013•北京）在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________　

例2、 已知ABC 中，A ，= ．∆∠60=︒a =sin sin sin a b c A B C ++++例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=

b ．

求角A 的大小；2、三角形形状问题

例3、 在中，已知分别为角A ，B ，C 的对边，

ABC ∆,,a b c 1) 试确定形状。B

A b cos cos a =ABC ∆2）若，试确定形状。cos cos a

B b A

=ABC ∆4）在中，已知，试判断三角形的形状。

ABC ∆A b B a tan tan 22=

5）已知在中，，且，试判断三角形的形状。ABC ∆C c B b sin sin =C B A 222sin sin sin +=例4、（2016年上海）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______ABC ∆类型二：余弦定理

1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角

在△ABC 中，

若，则角是直角；

222a b c +=C 若，则角是钝角；

222a b c +

222a b c +>C 例 1、在△ABC 中，若 a = 9, b = 10, c = 12, 则△ABC 的形状是_________。

2、求角或者边

例2、（2016年天津高考）在△ABC 中，若,BC=3， ,则AC = ．AB 120C ∠=

例 3、在△ABC 中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．3a =4b =c =例 4、在△ABC 中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?

3、余弦公式直接应用

例 5、：在ABC 中，若，求角A ．

∆222a b c bc =++

例 6、：(2013重庆理20)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，

且a 2＋b 2ab ＝c 2.

(1)求C ；

例7、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =

例8、（2016年北京高考） 在∆ABC 中，222+=a c b .

（1）求B ∠ 的大小；

（2cos cos A C + 的最大值.