北师大版高中数学必修45知识点

高中数学必修4第一章知识点

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???

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα?<

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为

n

α

终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r

α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π

=

，180157.3π??=≈ ???

． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l r α=，2C r l =+，211

22

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=

()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ??

?．

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．

()()

3sin sin

αα

-=-，()

cos cos

αα

-=，()

tan tan

αα

-=-．

()()

4sin sin

παα

-=，()

cos cos

παα

-=-，()

tan tan

παα

-=-．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

()5sin cos

2

π

αα

??

-=

?

??

，cos sin

2

π

αα

??

-=

?

??

．

()6sin cos

2

π

αα

??

+=

?

??

，cos sin

2

π

αα

??

+=-

?

??

．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、（1）一般地，函数Y=AsinX（A>0且A≠1)的图像可以看作是把Y=sinX的图像

上所有的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

得到的。

（2）一般地，函数Y=sinωX（A>0且A ≠1)图像可以看作是把Y=sinX的图像上

所有的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得

到的。

（3）一般地，函数Y=sin（x+ φ），（φ≠0）的图像，可以看作是把Y=sinx的图像

上所有的点向左（当φ>0）时或向右(当φ<0)时平行移动|φ|个单位而得到的

函数()()

sin0,0

y x

ω?ω

=A+A>>的性质：

①振幅：A；②周期：

2π

ω

T=；③频率：

1

2

f

ω

π

==

T

；④相位：x

ω?

+；⑤初相：?．

函数()

sin

y x

ω?

=A++B，当

1

x x

=时，取得最小值为

min

y；当

2

x x

=时，取得最大

值为

max

y，则()

max min

1

2

y y

A=-，()

max min

1

2

y y

B=+，()

2112

2

x x x x

T

=-<．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin

y x

=cos

y x

=tan

y x

=

图

象

定

义

域

R R,

2

x x k k

π

π

??

≠+∈Z

??

??

值

域

[]1,1

-[]1,1

-R

最

值

当2

2

x k

π

π

=+()

k∈Z

时，

max

1

y=；当

2

2

x k

π

π

=-

()

k∈Z时，

min

1

y=-．

当()

2

x k k

π

=∈Z时，

max

1

y=；当2

x kππ

=+

()

k∈Z时，

min

1

y=-．

既无最大值也无最小值

周

2π2ππ

函

数

性

质

期

性

奇

偶

性

奇函数偶函数奇函数

单调性在2,2

22

k k

ππ

ππ

??

-+

??

??

()

k∈Z上是增函数；在

3

2,2

22

k k

ππ

ππ

??

++

??

??

()

k∈Z上是减函数．

在[]()

2,2

k k k

πππ

-∈Z上

是增函数；在

[]

2,2

k k

πππ

+

()

k∈Z上是减函数．

在,

22

k k

ππ

ππ

??

-+

?

??

()

k∈Z上是增函数．

对称性对称中心()()

,0

k k

π∈Z

对称轴

()

2

x k k

π

π

=+∈Z

对称中心

()

,0

2

k k

π

π

??

+∈Z

?

??

对称轴()

x k k

π

=∈Z

对称中心

()

,0

2

k

k

π

??

∈Z

?

??

无对称轴

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向

量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b

-≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a

+=+；②结合律：()()

a b c a b c

++=++；③00

a a a

+=+=．

⑸坐标运算：设()

11

,

a x y

=，()

22

,

b x y

=，则()

1212

,

a b x x y y

+=++．

18、向量减法运算：b

a

C

B

A

a b C C

-=A-AB=B

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．

①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

20、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，

当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ

λ++??

?++??． 23、平面向量的数量积：

⑴()cos 0,0,0180

a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，a b a b ?=；

当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

2

a a a a ?==或a a a =?．③a

b a b ?≤．

⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()a b a b a b λλλ?=?=?；③()

a b c a c b c +?=?+?． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． 若(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+

设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

12

1

cos a b a b

x θ?=

=

+．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵

2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα

=-=-=-（

2cos 21

cos 2

αα+=

，

21cos 2sin 2

α

α-=

）． ⑶2

2tan tan 21tan α

αα

=

-． 26

、()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =

A

．

高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④

sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===A +B +A B ．

3、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ?AB =

A ==

B ． 4、余弦定理：在

C ?AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A ，2

2

2

2cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222

cos 2a b c C ab

+-=．

6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222

a b c +=，则90C =；

②若2

2

2

a b c +>，则90C <；③若2

2

2

a b c +<，则90C >． 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等

差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2

a c

b +=

，则称b 为a 与c 的等差中项． 19、若等差数列

{}n a 的首项是1

a ，公差是d ，则()11n

a

a n d =+-．

20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1

1

n a a d n -=

-；

④1

1n a a n d

-=

+；⑤n m a a d n m -=-．

21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*

q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若

{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ）

，则2n p q a a a =+． 22、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112

n n n S na d -=+

． 23、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为(

)*

2n n ∈N

，则()21n n n S n a a +=+，且

S S nd -=偶奇，1

n n S a

S a +=奇偶．

②若项数为(

)*

21n n -∈N

，则()2121n n S

n a -=-，且n S S a -=奇

偶，1

S n

S n =

-奇偶（其中n S n a =奇，()1n S n a =-偶）

． 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若

2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．

26、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1

1n n a a q -=．

27、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n

a a q --=；③11

n n

a q a -=

；④n m n

m

a q a -=

． 28、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*

q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}

n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*

q ∈N ），则2

n

p q a a a =?．

29、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()

()()11111111n n n na q S a q a a q q q

q =??

=-?-=≠?

--?．

30、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()

*2n n ∈N ，则S q S =偶奇

．

②n n m

n m S S q S +=+?．

③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．

31、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -

32、不等式的性质： ①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n

n

a b a b

n n >>?>∈N >；

⑧)0,1a b n n >>?>∈N >．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式2

4b ac ?=-

0?> 0?= 0?<

二次函数2

y ax bx c =++

()0a >的图象

一元二次方程2

0ax bx c ++=

()0a >的根

有两个相异实数根

1,22b x a

-±=

()12x x <

有两个相等实数根

122b x x a

==-

没有实数根

一元二次不等式的

解集

20ax bx c ++>

()0a >

{}

1

2

x x x x x <>或

2b x x a ??≠-???

?

R 20ax bx c ++<

()0a >

{}1

2x x

x x <<

? ?

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，

所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方．

②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．

②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示

直线0x y C A +B +=上方的区域．

40、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式．

线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

41、设a 、b 是两个正数，则

2

a b

+称为正数a 、b

a 、

b 的几何

平均数．

42、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥2

a b

+≥． 43、常用的基本不等式：①()2

2

2,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2

a b ab a b R +≤∈；

③()20,02a b ab a b +??

≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

．

44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．