电磁场与电磁波期末试题
一、选择题（10×2=20分）
1.产生电场的源为( C )
A 位移电流和传导电流；
B 电荷和传导电流；
C 电荷和变化的磁场；
D 位移电流和变化的磁场。
2.在有源区，静电场电位函数满足的方程是（ A ）
A 泊松方程；
B 亥姆霍兹方程；
C 高斯方程；
D 拉普拉斯方程。
3. 如果真空中有一个点电荷q 放在直角坐标系的原点，则坐标),,(z y x 处的电位=Φ( D )
A 2
22
41z y x
q
++π
ε； B 2
220
41z y x q
++πε
； C 2
2
2
41z
y x q ++π
ε
； D 2
2
2
41z
y x q ++πε
。
4. 某金属在频率为1MHz 时的穿透深度为60m μ，当频率提高到4 MHz 时，其穿透深度为（ B ）
A 15m μ；
B 30m μ；
C 120m μ；
D 240m μ。
5. 在正弦电磁场中，位移电流应与该处电场的方向一致，其相位（ C ） A 与电场相同； B 与电场相反； C 超前电场90°； D 滞后电场90°。
6. 一个半径为a 的导体球，球外为非均匀电介质，介电常数为a r 0
εε=，
设导体球的球心与坐标原点重合，则导体球与无穷远点的电容为（ B ）
A a 0
4πε； B a 0
8πε； C a 0
12πε； D a 0
2πε。
7.对于非磁性介质，平行极化的均匀平面斜入射到介质分界面上，发生全透射的条件为（ B ）
A 反射波平行极化；
B 入射角等于布儒斯特角；
C 入射角等于临界角；
D 入射波为左旋园极化。
8.麦克思韦提出的( D )的概念，使在任何状态下的全电流都可保持连续
A 传导电流；
B 时变电流；
C 运流电流；
D 位移电流。
9. 如图所示的一个电量为q 的点电荷放在0
60导体内坐标)
,(d a 处，为求解导体包围空间的电
位，需要( C )个镜像电荷
A 1个；
B 3个；
C 5个；
D 8个。
10. 已知良导体的电导率磁导率和介电常数分别为σμ和ε，则频率为ω的平面电磁波入射到该导体上时的集肤深度为( A )
A
ωμσ
2
； B 2
ωμσ
； C
ωμσ
21
； D σ
ωμ
2。
60q
二、填空题（18分，每空1分） 1. 设A =y
a xy ? ，
A
?? =x ，
A
?? =?z ya ，
=????A
?x a 。
2. 已知标量场为
1
)2s i n (),,(3++=y x z y x f ，则通过点)1,0,1(的等值面方程为
1)2sin(3=-+y x 。
3. 在空间中外加恒定的电场和磁场，电场强度和磁感应强度分别为E
和B 。如果有一个带电q 的粒子以速度v
通过该空间，那么它受到的洛伦兹力为=F ()q v +? E B 。
4. 当平面波入射到两层非磁性介质的分界面上时，如果介质1与介质2的介电常数分别为1
ε和2
ε，入射角和透射角分别为i
θ和t
θ，那么折射定律的
表达式为 1
2
sin sin εεθθ
=t
i
。
5. 写出欧姆定律的微分形式J E σ= 焦耳定律的微分形式p J E =? 。
6. 写出时变电磁场的坡印亭矢量S
=? E H 和时域的坡印亭定理222
1122V S
V
H E dV d E dV t μεσ???-
+=
?+ ????
??
?
E H S 。
或1122V
S
V
dV d dV t ???
-+=?+
????
???
B H E D E H S J E
7. 写出时变电磁场边界条件的矢量形式()2
1?0n
E E ?-=
， ()2
1
?S
n D D ρ?-= ，
()21?s n
H H J ?-= ，()2
1
?0n
B B ?-= 。
8. 均匀平面波由空气（z<0）斜入射到理想导体平面（z=0），已知入射波
的磁场为]/[?1.0)
22(4m A e z x j +-=πy
i
a H
则入射波的电场强度
)
22(40)??(26?z x j z x ik i e a a H a
E +--=?-=ππη
；反射波电场强度为
)
22(4)??(26z x j z x r e a a
E --+-=ππ
。
9. 均匀平面电磁波由空气（z<0）入射到无限大理想介质界面（z=0），入
射波的电场复矢量为)
3(2)??3(z x j z
x
i
e -+=πa a
E
（V/m ），已知理想介质区域（z>0）的相对磁导率1
=r
μ，相对介电常数25
.2=r
ε
，请计算入射角i
θ
030=
；透射波
的相位常数2
k 6π= 1/m
；
三、计算题（1×10=10分）
内、外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I ，求柱内外的磁感应强度。
解：使用柱坐标系，使圆柱轴线在z 轴，电流密度矢量沿轴向?z
Ja
=J ，大小为
2
2
,0,(),0
r a J I a r b J b a r b J π<=<<=->=
（2分）
根据问题的对称性，可知磁场强度B
只有圆周φ方向的分量，
φφa
B B ?=
使用安培环路定理计算不同区域的磁场强度 ???=?S
C
S
d J l d B 0μ （2分）
取轴线为圆心，半径为r 的圆环
a
r <时， φ
πrB l d B C
2=??
，
0=??S
S d J μ，可得
0=B （2分）
b
r a <<时，
φ
πrB l d B C
2=??
，
22
2202
20000a b a r I a r J JdS S d J r S
--=-==???μπμμμ)(
可得
φπμa a b r a r I B ?)
()
(2
22202--= （2
分）
b
r >时，
φ
πrB l d B C
2=??
， 可得
r
I B πμ20=
（2分）
四、概念题（1×10=10分）
在无源区，在均匀、线性、各向同性介质中，写出正弦电磁场的麦克斯韦方程组复数形式，并推导电场强度和磁场强度满足的波动方程。 解：对于正弦电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形式的波动方程，无源区麦克斯韦方程组为
00H j D E j B B D ωω???=?
??=-??
??=????=?
本构关系
???==H
B E
D
με， 可得
00H j E E j H H E ωεωμ???=?
??=-??
??=????=?
(1) (2) (3) (4) （5分）
对（1）式左右两端取旋度2
()H H H j E ωε????=???-?=??
将（2）式和（3）式代入可得 02
2
=+?H H
μεω
同理可得 0
2
2
=+?E E μεω
令με
ω
=k ，可得波动方程为
0222
2
=+?=+?E k E H k H （5
分）
五、计算题（1×10=10分）
一个截面如图所示的长槽，向y 方向无限延伸，两侧边的电位为零，槽内∞→y ，0=?，底部电位为a
x U
x π?300sin
),(=，求槽内电位。
0=?x
y
a
=?a
x U π?30sin
=
第七题用图
解：分离变量为()()y Y x X =?
根据x 坐标的周期边界要求，选取 ()x
k a x k
a x X x x
cos sin 21
+= （3分）
根据边界条件由 0,(0,)0x y ?== ，得0
2
=a ；
由 ,(0,)0x a y ?== ，得/(1,2,3,.....)
x
k
n a n π==
根据y 坐标的无限边界要求，可选取
()1x k y
Y y c e -=
（3分） 可得基本乘积解为
()()sin n y a
n n n n n X x Y y C xe
a
ππ?-==
为满足边界条件，选取基本解的叠加构成电位的表达式为 11
sin n y a
n n n n n C xe
a ππ??∞
∞
-====∑∑ （2分）
由 0
00U x y ==),(,
?，可得
∑∞
==1
03n n x
a n C a x U ππsin sin
利用三角函数的正交归一性，可知只有当3=n 时，0
3
U C =，其余系数()03=≠n C n
最终可得槽中电位为
303sin y
a U x e a
π
π
?-??=
???
（2
分）
六、计算题（1×10=10分） 在1
=r
μ
,9
=r
ε
的理想介质中传播着磁场强度
)]cos[)???.(Az y x t a a a
H z y x +----=ππωπ
51121
（m /A ）的均匀平面电磁波，试求：
1）常数ω和A ； 2）波的传播方向，电磁波的波长和频率； 3）求平面电磁波电场强度的复数形式； 解：1）可以写出磁场强度的复数形式 )()???.(Az y x j z y x e a a a
H -+---=ππ
51121
可知传播矢量为 ()z y x a A a a
k ???-+=π
根据均匀平面波的定义 0
=?H k
()11
()
(1.5) 1.5101212
x y z x y z k H A A ππ=+---=-+=a
a a a a a
即 50.-=A （2分）
传播矢量为
()z y x a a a
k ?.??50++=π
1/m ， 波数 1.5(1/)k k m π==
而 8/2 1.510/sec)
r kc f rad ωεππ===? ( （2分）
2) 波矢量 z y x k
a a a a ?3
1
?32?32?++=
，波长m k 3
4
2==πλ，频率7
7.510f Hz =?（3分） 3）若已知9
=r
ε
，且1
=r
μ
，可得波阻抗040()r r
μμ
ηηπεε=
==Ω 电场强度复数形式
m
V e a a a H a
E z y x j z y x k /)?10?7?2(9
5
?)5.0(++-+-=?-=πη （3分）
时域形式 m
V z y x t a a
a E z y x
/)]5.0(102cos[)?10?7?2(9
5
8++-?+-=ππ
七、计算题（1×10=10分） 给出以下均匀平面波表达式
1）
jkz y jkz x e a je a
E --+=22??
； 2）()y x jk z y x
e a j a
a
E 6854310--+=)???(
；
3）()θ
θθsin cos cos sin ?z jk x x
e k E j a E 02=
；
4）()kz t a kz t a
E y x
+-??? ?
?++=ωπωsin ?cos ?443
5）()()t kz x a
E a t kz x a a k E a E y x
ωπωππ-??
? ??+-??
? ????? ??=cos cos ?sin sin ?0
。 1）、请将复数形式表示的场矢量，变换为瞬时值，或做相反的变换。 2）、请判定它们的极化形式，如果是圆极化波或者椭圆极化波请说明旋向。 解：（1）复数域到时域
(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e
电磁场与电磁波习题及答案
. 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==
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电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ；
7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。
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5. 0??=B 说明＿＿A ＿＿＿ A. 磁场是无旋场 B. 磁场是无散场 C. 空间不存在电流 D. 以上都不是 6. 下列关于交变电磁场描述正确的是＿＿C ＿＿＿ A. 电场和磁场振幅相同，方向不同 B. 电场和磁场振幅不同，方向相同 C. 电场和磁场处处正交 D. 电场和磁场振幅相同，方向也相同 7．关于时变电磁场的叙述中，不正确的是：（D ） A. 电场是有旋场 B. 电场和磁场相互激发 C.电荷可以激发电场 D. 磁场是有源场 8. 以下关于在导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是＿＿B ＿＿＿ A. 不再是平面波 B. 电场和磁场不同相 C.振幅不变 D. 以ＴＥ波形式传播 9. 两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的是＿C ＿＿
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第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得
电磁场与电磁波试题及答案
电磁场与电磁波试题及答案
1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????= ==??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
电磁场与电磁波答案(无填空答案).
电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。
8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。
《电磁场与电磁波》经典例题
一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第1章
第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
电磁场与电磁波试题集
《电磁场与电磁波》试题1 填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的方程 为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为 方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ?=称为 。 4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表 示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??-=?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz e y B ??2+-= 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量z y x e e e A ?3??2-+= ，z y x e e e B ??3?5--= ，求 （1）B A + （2）B A ? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 （1） 球内任一点的电场强度 （2） 球外任一点的电位移矢量。
《电磁场与电磁波》期末复习题-基础
电磁场与电磁波复习题 1.点电荷电场的等电位方程是（ ）。A ． B ． C ． D ． C R q =04πεC R q =2 04πεC R q =024πεC R q =2 024πε2.磁场强度的单位是（ ）。 A ．韦伯 B ．特斯拉 C ．亨利 D ．安培/米 3.磁偶极矩为的磁偶极子，它的矢量磁位为（ ）。 A ． B ． C ． D ．024R m e R μπ?u r r 02 ·4R m e R μπu r r 02 4R m e R επ?u r r 2 ·4R m e R επu r r 4.全电流中由电场的变化形成的是（ ）。A ．传导电流 B ．运流电流 C ．位移电流 D ．感应电流 5.μ0是真空中的磁导率，它的值是（ ）。 A ．4×H/m B ．4×H/m C ．8.85×F/m D ．8.85×F/m π7 10-π7 107 10-12 106.电磁波传播速度的大小决定于（ ）。 A ．电磁波波长 B ．电磁波振幅 C ．电磁波周期 D ．媒质的性质7.静电场中试验电荷受到的作用力大小与试验电荷的电量( )A.成反比 B.成平方关系 C.成正比 D.无关8.真空中磁导率的数值为( ) A.４π×10-5H/m B.４π×10-6H/m C.４π×10-7H/m D.４π×10-8H/m 9.磁通Φ的单位为( )A.特斯拉 B.韦伯 C.库仑 D.安/匝10.矢量磁位的旋度是( )A.磁感应强度 B.磁通量 C.电场强度 D.磁场强度11.真空中介电常数ε0的值为( )A.8.85×10-9F/m B.8.85×10-10F/m C.8.85×10-11F/m D.8.85×10-12F/m 12.下面说法正确的是( ) A.凡是有磁场的区域都存在磁场能量 B.仅在无源区域存在磁场能量 C.仅在有源区域存在磁场能量 D.在无源、有源区域均不存在磁场能量13.电场强度的量度单位为（ ）A ．库/米 B ．法/米 C ．牛/米D ．伏/米14.磁媒质中的磁场强度由（ ）A ．自由电流和传导电流产生B ．束缚电流和磁化电流产生C ．磁化电流和位移电流产生D ．自由电流和束缚电流产生15.仅使用库仓规范，则矢量磁位的值（ ）A ．不唯一 B ．等于零 C ．大于零D ．小于零16.电位函数的负梯度（－▽）是（ ）。?A.磁场强度 B.电场强度 C.磁感应强度 D.电位移矢量 17.电场强度为=E 0sin(ωt -βz +)+E 0cos(ωt -βz -)的电磁波是（ ）。 E v x e v 4πy e v 4π A.圆极化波 B.线极化波 C.椭圆极化波 D.无极化波 18.在一个静电场中，良导体表面的电场方向与导体该点的法向方向的关系是（ ）。
电磁场与电磁波试题及答案
《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角
电磁场与电磁波试题答案
《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。
16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布
《电磁场与电磁波》期末复习题-基础
电磁场与电磁波复习题 1. 点电荷电场的等电位方程是（ ）。 A ．C R q =04πε B ．C R q =204πε C ．C R q =02 4πε D ．C R q =202 4πε 2. 磁场强度的单位是（ ）。 A ．韦伯 B ．特斯拉 C ．亨利 D ．安培/米 3. 磁偶极矩为m 的磁偶极子，它的矢量磁位为（ ）。 A ．024R m e R μπ? B ．02 ?4R m e R μπ C ．024R m e R επ? D ．02 ?4R m e R επ 4. 全电流中由电场的变化形成的是（ ）。 A ．传导电流 B ．运流电流 C ．位移电流 D ．感应电流 5. μ0是真空中的磁导率，它的值是（ ）。 A ．4π×710-H/m B ．4π×710H/m C ．8.85×710-F/m D ．8.85×1210F/m 6. 电磁波传播速度的大小决定于（ ）。 A ．电磁波波长 B ．电磁波振幅 C ．电磁波周期 D ．媒质的性质 7. 静电场中试验电荷受到的作用力大小与试验电荷的电量( ) A.成反比 B.成平方关系 C.成正比 D.无关 8. 真空中磁导率的数值为( ) A.４π×10-5H/m B.４π×10-6H/m C.４π×10-7H/m D.４π×10-8H/m 9. 磁通Φ的单位为( ) A.特斯拉 B.韦伯 C.库仑 D.安/匝 10. 矢量磁位的旋度是( ) A.磁感应强度 B.磁通量 C.电场强度 D.磁场强度 11. 真空中介电常数ε0的值为( ) A.8.85×10-9F/m B.8.85×10-10F/m C.8.85×10-11F/m D.8.85×10-12F/m 12. 下面说法正确的是( ) A.凡是有磁场的区域都存在磁场能量 B.仅在无源区域存在磁场能量 C.仅在有源区域存在磁场能量 D.在无源、有源区域均不存在磁场能量 13. 电场强度的量度单位为（ ） A ．库/米 B ．法/米 C ．牛/米 D ．伏/米 14. 磁媒质中的磁场强度由（ ） A ．自由电流和传导电流产生 B ．束缚电流和磁化电流产生 C ．磁化电流和位移电流产生 D ．自由电流和束缚电流产生 15. 仅使用库仓规范，则矢量磁位的值（ ） A ．不唯一 B ．等于零 C ．大于零 D ．小于零 16. 电位函数的负梯度（－▽?）是（ ）。 A.磁场强度 B.电场强度 C.磁感应强度 D.电位移矢量 17. 电场强度为E =x e E 0sin(ωt -βz +4π)+y e E 0cos(ωt -βz -4 π)的电磁波是（ ）。 A.圆极化波 B.线极化波 C.椭圆极化波 D.无极化波 18. 在一个静电场中，良导体表面的电场方向与导体该点的法向方向的关系是（ ）。
电磁场与电磁波习题集
电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0
电磁场与电磁波(必考题)
v1.0 可编辑可修改 1 ())] 43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπ y ωz x z k y k x k z y x ππ43+=++π3=x k 0=y k π4=z k )/(5)4()3(2 2222m rad k k k k z y x πππ=+=++=λ π 2= k ) (4.02m k ==π λ c v f ==λ)(105.74 .010388 Hz c f ?=?= = λ )/(101528s rad f ?==ππω ) /(31),() 43(m A e e z x H z x j y +-=ππ ) /()243254331120),(),(),() 43()43(m V e e e e e e e k k z x H e z x H z x E z x j z x z x z x j y n +-+--=+? ?=?=?=πππ π πππηη（() [])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω ())] 43(cos[31 ,,z x t-e t z x H +=πωπ y () []() [])/()43(cos 322431)] 43(cos[31 )43(cos 243222m W z x t e e z x t-e z x t e e H E S z x z x +-+=+?+--=?=πωπ πωπ πωy () )43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π)43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ () () )/(322461312432Re 21Re 212* )43() 43(*m W e e e e e e e H E S z x z x j y z x j z x av +=?????????????????-=??? ???= +-+-ππππ z 00 x φ==0 x a φ==00001 (,)()()(sin cos )(sinh cosh ) (3) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y φ∞ ==+++ ++∑(0,)0 (0)y y b φ=≤< 0001 0()(sinh cosh ) n n n n n n B C y D B C k y D k y ∞ ==+++∑y 0b →0(0,1,2,) n B n ==0001 (,)()sin (sinh cosh ) n n n n n n n x y A x C y D A k x C k y D k y φ∞ ==+++∑(,)0(0)a y y b φ=≤< 0001 0()sin (sinh cosh ) n n n n n n n A a C y D A k a C k y D k y ∞ ==+++∑y 0b →00A =sin 0(1,2,)n n A k a n ==n A 0φ≡sin 0n k a = (1,2,) n n k n a π==1 (,)sin (sinh cosh )n n n n n x n y n y x y A C D a a a πππφ∞ ==+∑ (,0)0 (0)x x a φ=≤≤ 1 0sin n n n n x A D a π∞ ==∑ 0a →0n A ≠ 0(1,2,)n D n == 1(,)sin sinh n n n x n y x y A a a ππφ∞ ='=∑ n n n A A C '= 0 (,)(0)x b U x a φ=≤≤ 01 sin sinh n n n x n b U A a a ππ∞ ='=∑ n A '(0,)a sin n x a π????? ? 01 sin n n n x U f a π∞ ==∑ 002sin a n n x f U dx a a π= ?041,3,5,0 2,4,6, U n n n π?=?=??=? sinh n n f A n b a π'=041,3,5,sinh 02,4,6,U n n b n a n ππ? =?? =??=?? 1,3, 41(,)sin sinh sinh n U n x n y x y n b a a n a ππφππ ∞ == ∑ ) 0(0),0(b y y <≤=?)0(0),(b y y a <≤=?)0(0)0,(a x x ≤≤=?) 0(),(0 a x U b x ≤≤=?02= ??