北京市各区(含07-12年中考试题)按知识分类汇编综合

（八）综合

中考试题

（北京09）8. 如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是

解： A

（11北京）8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=x ，CE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是

A B C D

解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2 ∴当x=0时，y 的值是

．

∵当x=2时，y 的值无限大

∴y 与x 的函数关系图象大致是B ． 故选B ．

（08北京）23．已知：关于x 的一元二次方程2

(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且

212y x x =-，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，

2y m ≤

(1)证明：∵mx 2－(3m ＋2)x ＋2m ＋2＝0是关于x 的一元二次方程，

∴Δ＝[－(3m ＋2)]2－4m (2m ＋2)＝m 2＋4m ＋4＝(m ＋2)2． ∵当m ＞0时，(m ＋2)2＞0，即Δ＞0． ∴方程有两个不相等的实数根． (2)解：由求根公式，得

m m m x 2)

2(23+±+=

．

m

m x 2

2+=∴或x ＝1． ∵m ＞0，1)

1(222>+=+∴m

m m m ．

∵x 1＜x 2，∴x 1＝1，m

m x 2

22+=．

m

m m x x y 2

1222212=?-+=-=∴．

即)0(2

>=m m y 为所求．

第23题答图

(3)解：如图，在同一平面直角坐标系中分别画出)0(2

>=m m

y 与y ＝2m (m ＞0)的图象．

由图象可得，当m ≥1时，y ≤2m ．

（北京09）23. 已知关于x 的一元二次方程2

2410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2

241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

()1

2

y x b b k =

+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴123k =，，．

（2）当1k =时，方程2

2410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程2

2410x x k ++-=无整数根；

当3k =时，方程2

2410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．

当3k =时，二次函数为2

242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2

246y x x =+-．

（3）设二次函数2

246y x x =+-的图象与x 轴交于

A B 、两点，则(30)A -，

，(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示．

当直线12y x b =

+经过A 点时，可得3

2b =； 当直线12y x b =+经过B 点时，可得1

2

b =-．

由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13

22

b -<<．

（09北京）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，

()6,0B ，()

0,43C ，延长AC 到点D,使CD=1

2

AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点

E.

（1）求D 点的坐标；

（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点

的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边

A

O x

y

8 6 4 2

2 4

2- 4- 2-

4-

6- 8-

B

形，确定此直线的解析式；

（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，

再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）

解：（1）∵(60)A -，

，(0C ，

∴6OA OC ==， 设DE 与y 轴交于点M ．

由DE AB ∥可得DMC AOC △∽△．

又1

2

CD AC =

， ∴12

MD CM CD OA CO CA ===．

∴CM =3MD =． 同理可得3EM =．

∴OM =

∴D

点的坐标为(3． （2）由（1）可得点M

的坐标为(0． 由DE AB EM MD =∥，，

可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线．

∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上．

∴ED 与CF 互相垂直平分．

∴CD DF FE EC ===． ∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心．

作直线BM ．

设BM 与CD EF 、分别交于点S 、点T ．可证FTM CSM △≌△． ∴FT CS =． ∵FE CD =， ∴TE SD =． ∵EC DF =，

∴TE EC CS ST SD DF FT TS +++=+++．

∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．

由点(60)B ，

，点(0M 在直线y kx b =+上，

可得直线BM 的解析式为363y x =-+．

（3）确定G 点位置的方法：过A 点作AH BM ⊥于点H ．则AH 与y 轴的交点为所求的

G 点．

由663OB OM ==，， 可得60OBM ∠=°， ∴30BAH ∠=°．

在Rt OAG △中，tan 23OG AO BAH =∠=g ．

∴G 点的坐标为(023)，．（或G 点的位置为线段OC 的中点）

（10北京）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244

m m

y x x m m -=-

++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点(2,)B n 在这条抛物线上． （1） 求B 点的坐标；

（2） 点P 在线段 OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线 OB

交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED PE =，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直 角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．

① 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长； ② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA

上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时 停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与 直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ， 使得FM QF =，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）． 若P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角

三角形分别有一条边恰好落在同一条 直线上，求此刻t 的值．

解：(1) ∵拋物线y= -41-m x 2+45m

x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，

由题意知m ≠1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y= -41x 2+25

x ，∵点B(2，n)在拋物线

y= -41x 2+25

x 上，∴n=4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y=k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y=2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a)，由C 点在拋物线上，得

2a= -41?(3a)2+25?3a ，即49a 2-211a=0，解得a 1=922，a 2=0

(舍去)，∴OP=922

。

依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y=k 2x +b ，由点A(10，0)，

点B(2，4)，求得直线AB 的解析式为y= -21

x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰

直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三

角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ=DP=4t ，

∴t +4t +2t=10，∴t=710

。

第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三

角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ=10-2t ，∵F 点在

直线AB 上，∴FQ=t ，∴MQ=2t ，∴PQ=MQ=CQ=2t ，∴t +2t +2t=10，∴t=2。 第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示。此时OP 、

AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴t +2t=10，∴t=310

。综上，符合题意的

t 值分别为710，2， 310

。

（11北京）25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把由两条射线AE 、BF 和以AB 为直

径的半圆所组成的图形叫作图形C ．已知A （-1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．

（1）求两条射线AE、BF所在直线的距离；

=+的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

（2）当一次函数y x b

=+的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y x b

（3）已知Y AMPQ（四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

备用图

解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，

如图1，

∵点D在以AB为直径的半圆上，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AD，

在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，

∵AE∥BF，

∴两条射线AE、BF 所在直线的距离为．

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或﹣1＜b＜1；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b ＜

（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：

①当点M在射线AE上时，如图2．

∵AMPQ四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的上方，

∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，

∴0＜PQ ＜．

∵AM∥PQ且AM=PQ，

∴0＜AM ＜

∴﹣2＜x＜﹣1，

②当点M不在弧AD上时，如图3，

∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

∴直线PQ必在直线AM的下方，

此时，不存在满足题意的平行四边形．

③当点M在弧BD上时，

设弧DB的中点为R，则OR∥BF，

当点M在弧DR上时，如图4，

过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，

∴0≤x＜．

当点M在弧RB上时，如图5，

直线PQ必在直线AM的下方，

此时不存在满足题意的平行四边形．

④当点M在射线BF上时，如图6，

直线PQ必在直线AM的下方，

此时，不存在满足题意的平行四边形．

综上，点M的横坐标x的取值范围是

﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜．