(完整版)垂线的专项练习30题有答案ok

垂线专项练习30 题（有答案）

1.如图，

①过点Q 作QD⊥AB，垂足为D，

②过点P 作PE⊥AB，垂足为E，

③过点Q 作QF⊥AC，垂足为F，

④连P、Q 两点，

⑤P、Q 两点间的距离是线段的长度，

⑥点Q 到直线AB 的距离是线段的长度，

⑦点Q 到直线AC 的距离是线段的长度，

⑧点P 到直线AB 的距离是线段的长度．

2.如图，点P 是∠AOB 的边OB 上的一点过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C；

（1）过点P 画OA 的垂线，垂足为H；

（2）线段PH 的长度是点P 到的距离，是点C 到直线OB 的距离．线段PC、PH、OC 这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）

3．（1）画出表示点B 到直线CD 的距离的线段，结论：

（2）A、C 两点之间的距离为线段的长；

（3）画出表示两条平行线AD、BC 之间的距离的线段，结论：．

4.如图，DE∥BC，AF⊥DE 于G，DH⊥BC 于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A 到BC 的距离．

5.如图，过点A 作BC 的垂线，并指出那条线的长度是表示点A 到BC 的距离？

6.如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点A 到直线BC 的距离为，点B 到直线AC 的距离为

，A、B 间的距离为，AC+BC＞AB，其依据是，AB＞AC，其依据是

．

7.如图所示，村庄A、村庄B 分别要从河流L 引水入庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的路线图．

8.如图，要把水渠中的水引到C 点，在渠岸AB 的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．

9.如图，王林和李明同学骑自行车同时从各自的家中出发去学校．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达学校？为什么？

10.如图，是一条河，C 是河边AB 外一点：

（1）过点C 要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．

（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C 处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为

1：2000）

11.如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线a 和b 分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．

12.如图，计划在河边建一水厂，可过C 点引CD⊥AB 于D，在D 点建水厂，可使水厂到村庄C 的路程最短，这种设计的依据是．

13.如图，点P 处有一个工厂，现拟修一条通往大路口a 的公路，应如何修才能使所修之路最短，试说明理由．

14.如图，直线AD 和BE 相交于点O，∠COD=90°，∠COE=60°，求∠AOB 的度数．

15.如图，OF 平分∠AOC，OE⊥OF，AB 与CD 相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB 的度数．

16.如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，

（1）若∠BOC=45°，求∠AOC 与∠BOD 的度数；

（2）若∠BOC=25°，求∠AOC 与∠BOD 的度数；

（3）由（1）、（2）你能得出什么结论？说说其中的道理．

17.如图，直线BC 与MN 相交于点O，AO⊥BC，OE 平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM 的度数．

18.如图，直线AB 与CD 相交于点O，OP 是∠AOD 的平分线，OF⊥CD，如果

∠BOD=30°．求：（1）∠AOF 的度数；

（2）∠POF 的度数．

19.如图所示，OA 丄OB，OC 丄OD，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=15°，求∠BOD 和∠AOC 的度数．

20.已知：如图，直线AB、CD、EF 相交于点0，∠1=20°，∠BOC=90°．求∠2 的度数．

日常生活现象相应数学原理

有人和你打招呼，你笔直向他走过去两点之间直线段最短

要用两个钉子把毛巾架安装在墙上

桥建造的方向通常是垂直于河两岸

人去河边打水总是垂直于河边方向走

22.如图所示，修一条路将A，B 两村庄与公路MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．

23.如图，点P 是∠AOB 的边OB 上的一点．

（1）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C，

（2）过点P 画OA 的垂线，垂足为H，

（3）线段PH 的长度是点P 到的距离，线段是点C 到直线OB 的距离．

（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC 这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）

24.已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB 于G 点，那么CD 与AB 是否互相垂直？试判断并说明理由．

25.如图，已知OA⊥OB，∠1 与∠2 互补，求证：OC⊥OD．

26.你能用折纸的方法过一点作已知直线的垂线吗？

27.先拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将∠A、∠E 折叠，使A′B 与BE′重合，则BC 与BD 有什么关系？说明理由．

28.分别过点P 作线段MN 的垂线．

29.如图，∠AOE 与∠BOF 互余，那么AO 与BO 是否垂直？试说明理由．

30.对于平面上垂直的两条直线a 和b，称（a，b）为一个“垂直对”，而a 和b 都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？

参考答案：

1．①②③④作图如图所示：

⑤根据两点之间距离即可得出P、Q 两点间的距离是

线段PQ 的长度，

⑥根据点到直线的距离可得出点Q 到直线AB 的距离

是线段QD 的长度，

⑦根据点到直线的距离可得出点Q 到直线AC 的距离

是线段QF 的长度，

⑧根据点到直线的距离可得出点P 到直线AB 的距离

是线段PE 的长度，

故答案为PQ，QD，QF，PE．

2．（1）如图：

（2）线段PH 的长度是点P 到直线OA 的距离，

线段CP 的长度是点C 到直线OB 的距离，

根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，

故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC

3．（1）过B 点作DC 的垂线，交CD 的延长线于E 点，

如，

则线段BE 的长为点B 到直线CD 的距离；

所以过直线外一点作直线的垂线，垂线段长就是这个

点到直线的距离；

（2）A、C 两点之间的距离为线段AC 的长；

（3）过C 点作AD 的垂线，垂足为F 点，如图，

则线段CF 的长即为两条平行线AD、BC 之间的距

离．

故答案为过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长就

是这个点到直线的距离；AC；两条平行线之间的距离

就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

4.∵AF⊥DE，DE∥BC，

∴AF⊥BC，

∵DH⊥BC，

∴DH∥GF，

∵DE∥BC，

∴四边形DHFG 是平行四边形，

∴DH=GF=4cm，

∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm，

即点 A 到BC 的距离是8cm．

5.过点A 作BC 的垂线，交CB 的延长线于E，

根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．

可得AE 的长度即为点A 到BC 的距离．

答：AE 的长度即为点A 到BC 的距离．

6．∵∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，

∴点A 到直线BC 的距离为4，点B 到直线AC 的距离为3，A 、B 间的距离为5，AC+BC＞AB，其依据是三角形任意两边之和大于第三边长度，AB＞AC，其依据是直角三角形中斜边长度大于直角边长度．7.如图所示，AE、BF 就是村庄A、村庄B 修筑水渠的路线图．

8.如图，过C 作CD⊥AB，垂足为D，

在D 处开沟，则沟最短．

因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．

9.根据垂线段定理，可知王林先到达学校．因为从他家到学校是垂线段，路程最短．

10.如图：

（1）过点C 画一平行线平行于AB．

（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D．

然后用尺子量CD 的长度，再按1：2000 的比例求得实际距离即可．

11. 如图所示

（1） 沿 AB 走，两点之间线段最短； （2） 沿 BD 走，垂线段最短； （3） 沿 AC 走，垂线段最短．

12. ∵CD ⊥AB ，

∴线段 CD 的长度就是点 C 到直线 AB 的最短距

离． 故答案为：垂线段最短．

13. 如图，过点 P 作 PD ⊥a 于 D ，则由点 P 沿着 PD 修路，能使所修之路最短．

14．∵已知∠COD=90°，∠COE=60°， ∴∠DOE=90°﹣60°=30°，

又∵∠AOB 与∠DOE 是对顶角， ∴∠AOB=∠DOE=30°．

15．∵∠AOC=∠BOD ，∠BOD=130°， ∴∠AOC=130°． ∵OF 平分∠AOC ， ∴∠AOF=∠FOC=65°． ∵OE ⊥OF ， ∴∠EOF=90°．

∴∠BOE=180°﹣∠AOF ﹣∠EOF

=180°﹣65°﹣90°=25°

16．（1）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°， ∴∠AOC=∠AOB ﹣∠BOC=45°，

∠BOD=∠COD ﹣∠BOC=45°；

（2）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°， ∴∠AOC=∠AOB ﹣∠BOC=65°，

∠BOD=∠COD ﹣∠BOC=65°；

（3）∠AOC=∠BOD ，等角的余角相等． 17．∵OE 平分∠BON ， ∴∠BON=2∠EON=40°，

∴∠COM=∠BON=40°，

∵AO ⊥BC ， ∴∠AOC=90°，

∴∠AOM=90°﹣∠COM=90°﹣40°=50°． 18．（1）∵∠AOC=∠BOD=30°，OF ⊥CD ， ∴∠AOF=90°﹣30°=60°；

（2）∵OP 是∠AOD 的平分线，

∴∠AOP= ∠AOP= （180°﹣∠BOD ）= （180°﹣30°）=75°，

∴∠POF=∠AOP ﹣∠AOF=75°﹣60°=15° 19．∵OE 为∠BOD 的平分线， ∴∠BOE= ∠BOC ，

即∠BOD=2∠BOE=2×15°=30°； ∵OA 丄 OB ，OC 丄 OD ， ∴∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣30°=150°． 20．∵∠1=20°，∠BOC=90°， ∴∠BOE=∠BOC ﹣∠1=90°﹣20°=70°，

∴∠2=∠BOE=70°． 21．这几种实际问题用数学原理解释分别是： 两点确定一条直线；

夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

22．连接 AB ，作 BC ⊥MN ，C 是垂足，线段 AB 和 BC 就是符合题意的线路图．

因为从 A 到 B ，线段 AB 最短，从 B 到 MN ，垂线段BC 最短，所以 AB+BC 最短．

23．（1）如图

（2） 如图，

（3）直线0A、PC 的长．（4）PH＜PC＜OC．

24．相互垂

直．理由：

∵GF⊥AB，

∴∠2+∠4=90°，

而∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠3=90°，

∴CD⊥AB

25．∵∠1 与∠2 互补，

∴∠1+∠2=180°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∴∠COD=360°﹣（∠1+∠2）﹣∠AOB

=360°﹣180°﹣90°=90°，

∴OC⊥OD 26．先沿已知直线折一下，再在已知点处对折即可．27.垂直；

根据题意可得∠ABC=∠A′BC，∠FBE=∠FBE′，

∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BF+∠FBE=180°，

∴∠A′BC+∠E′BF=90°，

∴BC⊥FB

28.①延长NM，过点P 作NM 所在直线的垂线．② 延长NM，过点P 作NM 所在直线的垂线．

③过点P 作NM 所在直线的垂线．④延长NM，过点P 作NM 所在直线的垂线．

29.AO 与BO 垂直．理由如下：

∵∠AOE 与∠BOF 互余，

∴∠AOE+∠BOF=90°，

又∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，

∴∠AOB=90°，

∴AO⊥BO，即AO 与BO 垂直

30.当二十条直线有10 条互相平行；另10 条不仅互

相平行而且与前10 条垂直时垂直对最多．答案是100 对．