对数函数图象的平移和变换
函数专题:对数函数图象的平移和变换(2)
探究:如何画)1(log 2+=x y 的图象?
)1(log 2+=x y 的图象可以由对数函数图象经过变换而得到:
→=x y 2log )1(log 2+=→x y
新知:1.对数函数图象的变换(c a a ,10≠>且为常数).
① 左右平移变换. (针对x 变量的变化:符合口诀“左加右减”)
x y a log =?????????????
→?) ()(log c x y a +=. ② 上下平移变换.(针对y 变量的变化:符合口诀“上加下减”)
x y a log =?????????????
→?) (c x y a +=log . ③ x y a log =与)(log x y a -=的图象关于 y 轴 对称.
x y a log =与x y a log -=的图象关于x 轴 对称.
x y a log =与)(log x y a --=的图象关于原点中心对称.
④ x y a log =??
??????????????→?)
(x y a log =. 解析说明:针对x 加绝对值,图像关于y 轴对称。 ⑤ x y a log =??
??????????????→?) (x y a log =. 解析说明:针对y 加绝对值,图像关于x 轴对称。
总结结论:函数图像的变换总是连接函数的两大主角同时出现,就像自变量与函数值不可分离又相互对应一样。所以,当我们看到x 身上发生变化时,那一定出现了关于y 的变换。反之,也成立。
函数的对称性
函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数:这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数,它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如|ln |y x =就没有对称性,而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线,其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定),对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性 ,我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-
(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律
一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移(平行移动)时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减,左加右减”的规律: (1)上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . (2)左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: (1)无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. (2)上面的规律如下页图(51)所示.
对数函数性质及练习(有答案)
对数函数及其性质 1.对数函数的概念 (1)定义:一般地,我们把函数y =log a x (a >0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的特征: 特征???? ? log a x 的系数:1log a x 的底数:常数,且是不等于1的正实数 log a x 的真数:仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征. 比如函数y =log 7x 是对数函数,而函数y =-3log 4x 和y =log x 2均不是对数函数,其原因 是不符合对数函数解析式的特点. 【例1-1】函数f (x )=(a 2 -a +1)log (a +1)x 是对数函数,则实数a =__________. 解析:由a 2 -a +1=1,解得a =0,1.又a +1>0,且a +1≠1,∴a =1.答案:1 【例1-2】下列函数中是对数函数的为__________. (1)y =log (a >0,且a ≠1);(2)y =log 2x +2; (3)y =8log 2(x +1);(4)y =log x 6(x >0,且x ≠1); (5)y =log 6x . 解析: 2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象与性质
(1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧,其单调性取决于底数.a>1时,函数单调递增;0<a<1时,函数单调递减.理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了.我们要注意数形结合思想的应用. (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当a>1时,对数函数的图象“上
对数函数图像和性质-函数专题平移和变换
函数专题:对数函数图象及其性质(1) 学习目标: 1.知道对数函数的定义 2.能够画出对数函数图象及并通过图象研究函数基本性质 3.会求简单的与对数有关的复合函数的定义域 4.掌握通过图象比较两个对数的大小的方法 学习重点:对数函数的图象、性质及其应用 学习过程: 一、复习引入: 1、指对数互化关系: 2、 )10(≠>=a a a y x 且 的图象和性质 3、我们曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的 函数,这个函数可以用指数函数y =x 2表示现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个……细胞? 二、新课学习: 1.对数函数的定义: 一般地,形如y=a log x (a >0且a ≠1)的函数叫对数函数。 练习:判断以下函数是对数函数的为(D ) 2A log (32)y x =-、(1)B log x y x -=、2 13 C log y x =、 D ln y x =、 2.对数函数的图象研究: 画出下列函数的图象2()log f x x =, 12 ()log f x x =图像略
3.对数函数的性质: 分析说明: 根据定义知,指数函数和对数函数互为反函数,所以定义域值域互换可得;图像关于y=x 直线对称,所以对数函数的性质及图像就一目了然了。 三、知识应用: 例1:求下列函数的定义域: (1)2 log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3)y = 练习:(1)5log (1)y x =- (2)21log y x = 例2. 比较下列各组数中的两个值大小 (1)22log 3.4,log 8.5 (2)0.30.3log 1.8,log 2.7 (3)log 5.1, log 5.9a a (a >0,且a ≠1) 32(4)log 5, log 5 解析技巧: 对数比较大小的步骤:1.与0比其乐无穷满足口诀“同步为正,不同步为负” 2.与1比其乐融融 满足口诀“每个对数换为a log a 比较” 3.同底比~ 应用公式“换底公式①、②” 四、思考: 2 (1)a x ax -+函数f(x)=log 的定义域为R ,求的取值范围?2
函数 图像的平移变换与伸缩变换
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中,我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容,主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的,这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时,也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数,因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性,我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识,能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文,供大家借鉴使用,提出建设性意见。 大家知道,sin y x =的图像向上(下)平移10个单位,可得到 10sin y x -=(10sin y x +=),即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像;sin y x =的 图像向右(左)平移 10π,可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像;sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 ),可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像;sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13),可得到1sin 3y x =(3sin y x =),即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像;我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反
高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质 高中数学-对数函数图像和性质及经典例题 第一部分:回顾基础知识点 log a x(a 0,且a 1)叫做对数函数其中x是自变量,函数的定义域是(o, +3). 在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象; (1) y log 2 x (2)y log! x 2 (3)y log3x(4)y log i x 3 ■0 5 -? 图象特征函数性质 a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0,+x) 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点(1 , 1) 1 1 自左向右看,图象逐渐上升自左向右看, 图象逐渐下降 增函数减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象 纵坐标都大于0 x 1, log a x 00 x 1, log a x 0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象 纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 -- 底数a是如何影响函数log a x 的. 规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大
第二部分:对数函数图像及性质应用 例1 ?如图,A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点,它们的横坐标分别是 t , t +2, t +4(t 1). 2 ⑴设 ABC 的面积为S 。求S=f (t ); ⑵判断函数S=f (t )的单调性; 解:(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴,垂足为 Ai,B i ,C i , 则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S 上是减函数,且 1一次函数图象的平移规律
一次函数图象平移的探究 我们知道,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b>0时,向上平移; 当b<0时,向上平移).例如,将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线 y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1.需要注意的是,函数图象的平移,既可以上下平移,也可以左右平移.这里所说的平移, 是指函数图象的上下平移,而非左右平移. 以上平移比较简单,因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移.对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢? 【探究一】函数图像的上下平移 我们先从一些具体的函数关系开始. 问题1已知直线l:y=2x-3,将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1,求直线l1的解析式. 分析:根据“两直线平行,对应函数的一次项系数相等”,可设直线l1的解析式为y=2x+ b,由于直线l1的解析式中只有一个未知数,因此再需一个条件即可.怎样得到这个条件呢?注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点,而直线 l1与y轴的交点易求,这样就得到一个条件,于是直线l1的解析式可求.解:设直线l1的解析式为y=2x+b,直线l1交y轴于点(0,-3),向上平移2个单位长度后变为(0,-1).把(0,-1)坐标代入y=2x+b,得b=-1,从而直线l1的解析式为y=2x-1. 问题2已知直线l:y=2x-3,将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2,求直线l2的解析式. 答案:直线l2的解析式为y=2x-6.(解答过程请同学们自己完成)
对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现: 将直线l:y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为:y=2x-3+2;将直线l:y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为:y=2x-3-3.(此时你有什么新发现?) 我们再来探究一般情况. 问题3 已知直线l:y=kx+b,将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1,求直线l1的解析式. 简解:设直线l1的解析式为y=kx+p,直线l交y轴于点(0,b),向上平移m 个单位长度后变为(0,b+m),把(0,b+m)坐标代入l1的解析式可得,p=b+m.从而直线l1的解析式为y=kx+b+m. 问题4 已知直线l:y=kx+b,将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2,求直线l2的解析式. 答案:直线l2的解析式为y=kx+b-m.(解答过程请同学们自己完成) 由此我们得到: 直线y=kx+b向上平移m(m为正)个单位长度得到直线y=kx+b+m, 直线y=kx+b向下平移m(m为正)个单位长度得到直线y=kx+b-m, 这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律. 这个规律可以简记为:函数值:上加下减 以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移,如果直线y=kx+b 不是上下(或沿y轴)平移,而是左右(或沿x轴)平移,又该怎样进行平移呢?【探究二】函数图像的左右平移
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道,每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把图象上各点向左平移个单位长度,则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数,则y =f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a >0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案:D
函数图象变换及练习题
高中函数图象变换 一、基本函数作图(草图画法): 1、一次函数: 2、二次函数: 3、反比例函数: 4、指数函数: 5、对数函数: 6、幂函数: 7、正弦函数:
二、图像变换: ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; 1)y =f (x )h 左移→y =f (x +h);2)y =f (x ) h 右移→y =f (x -h); Ⅱ、竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到; 1)y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ;2)y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换: Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换: Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换: Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐
函数的对称性完美
函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性,是函数性质的重要方面,它包括自身对称和两个函数图象之间的对称,理解掌握函数对称性,对数学问题的解决有很大的帮助,对也是数形结合思想的重要体现。 1.自身对称函数,函数图象本身具有对称轴或是对称中心,该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形,奇函数与偶函数是最典型的两类函数,其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到; 2.两个函数图象的对称,是指两个图形之间的关系,它们之间存在某种关联,即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称,研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点(互为反函数的两个函数图象)。 二、举例分析 例1. 设()f x 是定义在R 上的函数, (1)若对任意x R ∈,都有()()f a x f b x -=+成立,则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称; (2)若对任意x R ∈,都有()()22f x f a x b +-=,则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的:通过此题的学习,让学生明白一个道理,函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称,函数解析式()f x 应满足一关系式是什么,并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析: (1)要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上,()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????,即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地,当,a b 都为0时,就是偶函数的特征了。