(完整word版)第二章运筹学 线性规划

第二章 线性规划

主要内容：1、线性规划问题及数学模型 2、线性规划问题的解及其性质

3、图解法

4、单纯形法

5、大M 法和两阶段法

重点与难点：线性规划数学模型的建立：一般形成转化为标准型的方法：单纯形法的求解步骤。

要 求：理解本章内容，掌握本章重点与难点问题；深刻理解线性规划问题的基本概念、基本性质，熟练掌握

其求解技巧；培养解决实际问题的能力。

§1 线性规划的数学模型及解的性质

一、数学模型（一般形式）

例 1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及可用的资源限量如下表，问不同体系的面积应各建多少，才能使提供的住宅面积总数达到最大？

解：设三种体系的建筑面积依次为1x ,2x ,3x 万平方米， 则目标函数为 321max x x x z ++=

约束条件为 ⎪⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤≤++≤++≤++3,2,10

4005.335.41470021015000

180190110200025301211000

122137105

3211321321321j x x x x x x x x x x x x x x j

例2 某工厂要安排生产甲、乙两种产品。已知：

问：如何安排两种产品的生产数量，才能使总产值最高？ 解：设

21,x x 分别为甲、乙两种产品的生产量：

则目标函数为 21127m

ax x x z += 约束条件为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=≥≤+≤+≤+2,1,03001032005436049112121j x x x x x x x j

从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题。它们的共同特征：

①每一个问题都有一组决策变量（n x x x 21,）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这

些变量的取值是非负的。

②存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。

③都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示；按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。其一般形式为：

目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m ax (m in)

约束条件 ()()()⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=≥=≥≤+++=≥≤+++=≥≤+++n

j x b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m

n mn m m n n n n ,,2,1,0,,,22112222212111212111

可行解：满足约束条件的一组决策变量，称为可行解。 最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解，称为最优解。 最优值：目标函数的最大（小）值，称为最优值。

二、标准型

（一）问题的标准形式：

n n x c x c x c z +++= 2211ma x

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥=+++=+++=+++n

j x b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m

n mn m m n n n n ,,2,1,022112222212111212111

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其中 n m m i b i <=≥,,2,10

注意：任何一个一般型都可转化为一个标准型。

（二）标准型的表示方法：

1、和式形式：

∑==n

j j

j x c z 1

max

()()

⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑=n j x m i b x a j

n

j i j ij ,,2,10,,2,11

2、矩阵形式：

CX

z =max

⎩⎨

⎧≥=0

X b AX

其中

[]n c c c C ,,,21 =-------价格系数向量

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

m b b b b 21-------资源向量（限定系数向量）

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

mn m m n n a a a a a a a a a A ,,,,,,,,,212222111211 -----------约束条件系数矩阵

[]

T

n x x x X ,,,21 =--------决策变量

3、向量形式：

n n x c x c x c z +++= 2211m ax

⎩

⎨

⎧≥=++02211j n n x b P x P x P x 其中

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=j n j j j a a a P ,,2,1 为约束条件系数矩阵A 的第j 列。

（三）一般型化为标准型的方法 1、

CX z =min

引进新的目标函数Z Z -=', 则可化为CX

Z -='max

2、不等式约束

①

i

n in i i b x a x a a ≤+++ 221

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引进新的非负决策变量, 使得

1

+n x

i n n in i i b x x a x a x a =+++++12211

1+n x 称为松弛变量，在目标函数中，其价格系数为0。

②

i n in i i b x a x a x a ≥+++ 2211

引进新的非负决策变量1+n x ,使得

i n n in i i b x x a x a x a =-++++12211

1+n x 称为剩余变量，在目标函数中，其价格系数为0。

3、若

0

可变为

02211>-=----i n in i i b x a x a x a

4、若某个变量j x 无非负限制，称为自由变量。

令00

≥''≥''

'-'=j j j j j x x x x x

例3 将下列问题化为标准型

21127m ax x x z +=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥≤+≤+≤+0

,0300103200543604921212121x x x x x x x x

解：标准型为