上海市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题

2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分 ）

一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数i

i z +=

2(i 为虚数单位)，则=||z ．

2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．

3．抛物线2

4y x =的焦点坐标为 ．

4

．6

2x ?- ?

的展开式中的常数项的值是 ．

5．已知实数x 、y 满足不等式组5

2600

x y x y x y +≤??+≤?

?≥??≥?，则34z x y =+的最大值是 ．

6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232

=+-a x x 的一个根,则实数=a ．

7．已知21,F F 为双曲线C ：12

2=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=?,则

=?||||21PF PF ．

8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排

2名,则不同的安排方案种数为 ．

9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ

θ

=+??

=-+?（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，

则曲线C 上到直线l

距离为

10

的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02

=++q px x （,p q 是

常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ． 11．在ABC ?中，

AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足

221

sin cos 2

AP AB AC θθ=?+?()R θ∈，则()PA PB PC +?的最小值是 ．

12．已知椭圆C ：)0(1

22

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，

M=||||||||2121PF PF PF PF ?+-。M 的最大值为 ．

二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=

-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（ ）．

（A ）??（B ）??（C ）??（D ）??

14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2

，那么直线

0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是（ ）．

（A ）平行 （B ）垂直（C ）相交但不垂直 （D ）重合

15．O 是ABC ?所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+?-，则ABC ?的形状是（ ）．

（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等边三角形

16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．

（A ）2

10x y +-= （B ）10x =

（C ）22

10x y x x +---= （D ）2

310x xy -+=

三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）

设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，

)(2

5|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知2||=

a ,1||=

b ,a 与b

的夹角为?135.

(1)求)2()(b a b a

-?+的值；

（2）若k 为实数，求||b k a

+的最小值．

．

19．（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；

（2）已知ABC ?的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是

02=-y x 和01=-+y x ，求边BC 所在直线方程．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知点21,F F 为双曲线C ：)0(122

2

>=-b b

y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，

在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=?，圆O 的方程是2

22b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ?的值；

（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

教材曾有介绍：圆2

22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。我们将其结

论推广：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为12020=+b y

y a x x ，在

解本题时可以直接应用。已知，直线03=+-y x 与椭圆E ：12

22=+y a

x （1>a ）有且只

有一个公共点． （1）求a 的值；

（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．

①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k 为定值． ②设m R ∈，求OAB ?面积的最大值．

金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分 ）

一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数i

i z +=

2(i 为虚数单位)，则=||z ．

2．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．1

arctan

2

3．抛物线2

4y x =的焦点坐标为 ．10,

16??

???

4

．6

2x ?

- ?

的展开式中的常数项的值是 ． 60

5．已知实数x 、y 满足不等式组5

2600

x y x y x y +≤??+≤?

?≥??≥?，则34z x y =+的最大值是 ． 20

6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232

=+-a x x 的根，则实数=a ．3

7．已知21,F F 为双曲线C ：12

2

=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，0

2160=∠PF F ,则=?||||21PF PF ．4

8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排

2名,则不同的安排方案种数为 ． 90

9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ

θ=+??=-+?

（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，

则曲线C 上到直线l

距离为

10

的点的个数为____________．2 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02

=++q px x （,p q 是

常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ． 2

30(40)px y q p q ++=-> 11．在ABC ?中，

AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足

221

sin cos 2

AP AB AC θθ=?+?()R θ∈，则()PA PB PC +?的最小值是 ． -2

12．已知椭圆C ：)0(1

22

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，

M=

|

|||||||2121PF PF PF PF ?+-。

M

的

最

大

值

为

．2222221,1

01

a a

b b a b ?+-≥??+<-

二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（ ）．B

（A ）[

]252,

252+-（B ）[

]25,

23（C ）[

]25,

22（D ）[

]

24,

23

14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2

，那么直线

0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是（ ）．D

（A ）平行 （B ）垂直（C ）相交但不垂直 （D ）重合

15．O 是ABC ?所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+?-OA OC OB OC OB ，则A B C ?的形状是（ ）．A

（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等边三角形

16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．C

（A ）2

10x y +-= （B

）10x =

（C ）22

10x y x x +---= （D ）2

310x xy -+=

三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）

设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，

)(2

5|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．

z =

或z =……（8分）

当02z m =

=或…………（11分）

当0222

z m =--=或-…………（14分）

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知2||=

a

,1||=b ,a 与b

的夹角为?135.

(1)求)2()(b a b a

-?+的值；

（2）若k 为实数，求||b k a

+的最小值．

（1）)2()(b a b a

-?+=2…………………………（6分）

（2）当1k =时，||b k a

+的最小值为1………………………（14分）

19．（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；

（2）已知ABC ?的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是

02=-y x 和01=-+y x ，求边BC 所在直线方程.

（1）25110x y +-=………………………………（6分）

（2）A 关于01=-+y x 的对称点为B(-3，0) A 关于02=-y x 的对称点为198

(

,)55

C - :417120BC x y ++=…………………………（14分）

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知点21,F F 为双曲线C ：)0(122

2

>=-b b

y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，

在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且0

2130=∠F MF ，圆O 的方程是2

22b y x =+．

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ?的值；

（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =． 解（1）设2F 、

M 的坐标分别为

)

、

)

0y )0(0>y

因为点M 在双曲线C 上，所以2

2

0211y b b

+-=，即20b y =，所以22MF b =

在21Rt MF F ?中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = 由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==

故双曲线C 的方程为：2

2

12

y x -= ……………（4分）

（

2）由条件可知：两条渐近线分别为10l y -=

， 2:0l y += 设双曲线C 上的点),(00y x P ，设1l 的倾斜角为

θ，则tan θ=则点P

到两条渐近线的距离分别为1||PP =

，2||PP =

……（6分）

因为),(00y x P 在双曲线:C 22

12

y x -=上，所以220022x y -=

221tan 121cos 21tan 123

θθθ--===-++，从而12

1

cos cos(2)cos 23PPP πθθ=∠=-=-…（8分）所以12PP PP

?220012212

339

x y PPP -=

∠=

?=……………（10分）

（3）由题意，即证：OA OB ⊥．

设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=，且22002x y += ①当00y ≠时，将切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：

22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=

所以：20012122222

00004(24)

,(2)(2)

x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22

010201201201222200000

(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---??=?=-++=??- 所以222200001212222222

000000

(24)8242()0(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+?=+=-+==--- ②当00y =时，易知上述结论也成立． 所以12120OA OB x x y y ?=+= 综上，OA OB ⊥，所以2AB OD =． ……………（16分）

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

教材曾有介绍：圆2

22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。我们将其结

论推广：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为12020=+b y

y a x x ，在

解本题时可以直接应用。已知，直线03=+-y x 与椭圆E ：12

22=+y a

x （1>a ）有且只

有一个公共点． （1）求a 的值；

（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．

①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k 为定值． ②设m R ∈，求OAB ?面积的最大值．

解：（1）联立???

??=++=13

222y a

x x y 整理得0232)11(22

=+++x x a 依题意0=?即202)11

(

4)32(2

2

=?=?+?-a a …………………………（4分） （2）①设),(11y x A 、

),(22y x B 于是直线1l 、2l 的方程分别为1211=+y y x x 、12

22=+y y x

x 将),2(m M 代入1l 、2l 的方程得0111=-+my x 且0122=-+my x 所以直线AB 的方程为01=-+my x ……………………（7分）

m k 11-

=，22m k =，所以2

1

21-=k k 为定值………………（10分） ②依题意联立????

??=+=-+12

12

2y x my x 012)2(22=--+my y m 显然0>?，由21,y y 是该方程的两个实根， 有22221+=

+m m y y ，2

12

21+-=m y y ………………（12分） OAB ?面积1122

12x y S x y =

的绝对值，即121

||2S y y =-……（14分） 即2

121

1)1(2)2()1(2]4)[(4122222212

212

≤++++=++=-+=m m m m y y y y S

当0 m 时，S 取得最大值2

2

………………（18分）