江苏省盐城中学高二数学暑假作业：立体几何1教师

盐城中学高二数学暑假作业（十八）

-----立体几何（1）

姓名 学号 班级

一、填空题

1.“b a 、是异面直线”是指（1）φ=b a ，但a 不平行于b ；（2）?a 平面α，?b 平面β且φ=b a ；（3）?a 平面α，?b 平面β且α∩β=φ；（4）?a 平面α，?b 平面α；（5）不存在任何平面α，能使a ?α且b ?α成立，上述结论中， 正确的是 （1），（5） ．

2.以下七个命题，其中正确命题的序号是____（1）（3）（4）______． （1）垂直于同一直线的两个平面平行； （2）平行于同一条直线的两个平面平行； （3）平行于同一平面的两个平面平行；

（4）一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行； （5）与同一条直线成等角的两个平面平行；

（6）一个平面上有共线三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； （7）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行．

3.“直线m 垂直于平面α内的无数条直线”是“α⊥m ”的_____必要而不充分________条件.

4.设有如下三个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体。其中真命题的个数是 1 .

5. 长方体全面积为11，十二条棱长之和为24，则长方体的一条对角线长为 5 .

6.点B A ,到平面α的距离分别是cm cm 6,4,则线段AB 的中点M 到平面α的距离为 1或5. .

7. 已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为___π12______3cm ． 8.已知正四棱锥P-ABCD 的棱长为32a ，侧面等腰三角形的顶角为30，则从点A 出发

环绕侧面一周后回到A 点的最短路程等于 4a ．

9.不重合的三条直线，若相交于一点，可以确定___________平面；若相交于两点可确定__________平面；若相交于三点可确定_________平面. . 1或3; 1或2; 1.

10．在四棱锥P _ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足什么条件时，AOB P V -恒为定值（写上认为正确的一个条件）: ．

11．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___12323S S S +=______．

12.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,EF 是异面直线AC, A 1D 的公垂线,则EF 和B D 1的关系是_____平行_________. 13．高为

2

4

的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 1 .

14.在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ?的两边,AB AC 互相垂直，则

222AB AC BC +=.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积和底

面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面

,,ABC ACD ADB 两两互相垂直，则__ 2222S ABC S ACD S ADB S BCD ++= ____.

二．解答题

A

B

C D D

C

B

A 所以PN ||DC ，且DC PN 2

1

=

，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ||DC ，且DC AM 2

1

=

， 所以PN ||

AM

，且AM PN =，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ||AP

而?AP 平面DAE ，?MN 平面DAE ，所以MN ∥平面DAE ． 16. 直棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222===CD AD AB ． （1）求证：⊥AC 平面C BC B 11；

（2）在11B A 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与 平面1ACB 都平行？证明你的结论．

17.如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．

证明：∵ A ，B ，C ，D 四点在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2 在一条直线上，

∴A ，B ，C ，D 四点共面．

又A ，B ，C ，D 四点在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．

∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线． ∴AB ∥CD ． 同理AD ∥BC ．

∴四边形ABCD 是平行四边形．

18. .如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =

，

AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.

（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；

（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．

（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC 又因为CN ?平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ………………………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，

所以CN AB ⊥. …………………………………………………… 2分

因为1

AA AB A =， ……………………………………………………… 3分

所以CN ⊥平面11ABB A ． ……………………………………………………… 4分

（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，

因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，

所以1//NG BB ，11

2NG BB =

. 又因为1//CM BB ，11

2

CM BB =，

所以//CM NG ，CM NG =.

所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分

因为CN ?平面1AMB ，GM ?平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分

A

B C D B 1 D 1 C 1

α A 1

B 2

A 2 C 2 D 2 β

E A

B

C

A 1

B 1

C 1

M N

G

所以11MN M N 112442323

B A AB V V --==?=. ………………………… 13分

19.在三棱锥P ABC -中，PAC ?和PBC ?2 的等边三角形，2AB =，O 是AB 中点．

（1）在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面ABC .

解: （Ⅰ）当M 为棱PA 中点时，OM ∥平面PBC .

证明如下：

,M O 分别为,PA AB 中点， ∴OM ∥PB

又PB ?平面PBC ，OM ?平面PBC

OM ∴∥平面PBC . --------------------6分

（Ⅱ）连结OC ，OP

2AC CB ==O 为AB 中点，2AB =,

OC ∴⊥AB ，1OC =.

同理, PO ⊥AB ，1PO =. 又2PC =

2222PC OC PO ∴=+=, 90POC ∴∠=.

PO ∴⊥OC .

PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ?=,

PO ∴⊥平面ABC . PO ?平面PAB

∴平面PAB ⊥平面ABC . --------------------12分

20．如图，平面⊥ABEF 平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，

,90?=∠=∠FAB BAD AD BC 21//

，AF BE 2

1

//，H G ,分别为FD FA ,的中点 （1）证明：四边形BCHG 是平行四边形；

（2）E F D C ,.,,四点是否共面？为什么？

（3）设BE AB =，证明：平面⊥ADE 平面CDE ．

解：（1）由题意知，,FG GA FH HD ==

所以GH

//

=

12AD 又BC

//

=

12AD ，故GH

//

=

BC

所以四边形BCHG 是平行四边形。 （2）,,,C D F E 四点共面。理由如下：

由BC

//=

12AF ，G 是FA 的中点知，BE

//

=

GH ，所以//EF BG

由（Ⅰ）知//BG CH ，所以//EF CH ，故,EC FH 共面。又点D 在直线FH 上 所以,,,C D F E 四点共面。 （3）连结EC ，由AB BE =，BE

//=

AG 及090BAG ∠=知ABEG 是正方形

故BG EA ⊥。由题设知,,FA FD AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ， 因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，根据三垂线定理，BG ED ⊥

=，所以BG⊥平面ADE

又ED EA E

CH BG，所以CH⊥平面ADE。

由（Ⅰ）知//

由（Ⅱ）知F∈平面CDE，故CH?平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE