阶段质量检测(三) 空间向量与立体几何

阶段质量检测（三） 空间向量与立体几何

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．以下四组向量中，互相平行的组数为( ) ①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)； ②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)； ③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)； ④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)； A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选B ∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－1

3b ，

∴a ∥b ；而①④中的向量不平行．

2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )

A ．1

B ．2 C.12

D ．3

解析：选B 若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.

3．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( ) A ．7 B ．－20 C ．28

D ．11

解析：选C 因为m ＝(0,8,3)，n ＝(－1,5，－4)，所以m ·n ＝0＋40－12＝28. 4．已知二面角α-l -β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的

角为( )

A.π6

B.π3

C.π2

D.2π3

解析：选B 设m ，n 的方向向量分别为m ，n . 由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．

∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π

3.

但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π

2， 故异面直线m ，n 所成的角为π

3

.

5．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )

A ．(－2,2,0)

B ．(2，－2,0) C.⎝⎛⎭

⎫－12，1

2，0 D.⎝⎛⎭⎫12

，－1

2，0 解析：选C 由OA ＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH ＝(－λ，λ－1，－1)．

又BH ⊥OA ，∴BH ·

OA ＝0， 即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0， 即λ＋λ－1＝0，解得λ＝1

2，

∴H ⎝⎛⎭

⎫－12，1

2，0. 6．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；

③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ＝2OA －2OB －OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面；

④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析：选C ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．

7．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

解析：选C 设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14，cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12

，

所以α＝60°.

因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.

8．在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ，k 〉＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：选C 如图所示，设|a |＝m (m >0)，

a ＝OP ，PA ⊥平面xOy ， 则在Rt △PBO 中， |PB |＝|OP |· sin 〈a ，i 〉＝

2

2

m ， 在Rt △PCO 中，

|OC |＝|OP |·cos 〈a ，j 〉＝m

2，

∴|AB |＝m

2，

在Rt △PAB 中， |PA |＝

|PB |2

－|AB |2

＝

24m 2－m 24＝m 2

， ∴|OD |＝m

2

，在Rt △PDO 中，

cos 〈a ，k 〉＝|OD ||OP |＝1

2

，又0°≤〈a ，k 〉≤180°，∴〈a ，k 〉＝60°.

9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )

A.83

B.38

C.43

D.34

解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系． 则A (2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，A 1(2,0,4)，

AB 1＝(0,2,4)，AD 1＝(－2,0,4)， AA 1＝(0,0,4)．

设平面AB 1D 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，

则⎩⎪⎨⎪⎧

AB 1·n ＝0， AD 1·

n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0，

令x ＝2，得n ＝(2，－2,1)．

所以A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1·n ||n |＝4

3

.

10．三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )

A.1

3 B.23

C.33

D.23

解析：选B 如图，设A 1在底面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设△ABC 边长为1， 则A

⎝⎛⎭⎫33，0，0，B 1－32，12，63，∴AB 1＝⎝⎛⎭

⎫－536，12，63.

又平面ABC 的法向量n ＝(0,0,1)， 则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为