相交线与平行线的应用总结实例

相交线与平行线的应用总结实例

------贾永灵

【内容综述】

在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行。相交线和平行线都有许多重要的性质，学好它们是进一步学好几何的基础，这儿主要介绍相交线和平行线性质的应用。【要点讲解】

§1.相交线相交直线中的主要概念有对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角，主要性质有对顶角的性质，垂线的性质。相交直线中最重要的位置关系是垂直，研究垂直关系应掌握好垂线的性质。

⑴经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。

⑵垂线段最短。

★例1：如图1，已知于D，DE、DF分别是和的平分线，求证。

思路欲证，只须证。

证明，

又

∴

∴

于是，

因此。

说明：这个结论可以推广为“两个邻补角的平分线互相垂直”，此结论应用很广。

★★例2：若平行直线EF、MN与相交直线AB、CD成如图2所示图形，则图中共有内错角多少对？

解：因为每一对“三线八角”基本图形中都有两对内错角，而从所给图形中可分解出下列8个基本图形，故共有16对内错角。

说明：找内错角、同位角、同旁内角的关键是它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截成的。

★★例3 在的两边上分别取点A、C，作，作，若

，，求的度数。

解由已知有

，

，

又由垂线段最短，知

，

，

根据不等式的传递性，有

，

∴。

因过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以D、E、B三点重合，∠B=90°。

说明：进一步可知，是等腰三角形。

★★★例4：如图4，在中，，，线段CD、BC、AB 的大小顺序如何？这是根据什么道理。

解在中，

，∴，

因此，BC和BA是由B点向AC引的垂线段和斜线段，垂线段最短，

∴BC＜AB, 又,

因此，CD和CB是由C向AB引的垂线段和斜线段，垂线段最短，

∴CD＜BC

于是 CD＜BC＜AB

§2．平行线

两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据。

⑴平行线的判定

①两条直线没有公共点，则两直线平行，

②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

③平行于同一直线的两条直线平行

④垂直于同一直线的两条直线平行。

⑵平行线的性质

①过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。

②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直。

★★★例5 如图5，直线a∥b，直线AB交a与b于A、B，CA平分，CB平分，求证：。

思路：由于a∥b，，是同旁内角，因此，那么。

问题在于如何使相等，这必须通过辅助线将、转移到C点。为此，过C点作直线l，使l∥a，即可通过平行线的性质实现等角转移。

证明：过C点作直线l，使l∥a，因为a∥b，所以b∥l，则

。

又因为AC平分，BC平分，所以

，。

又，，所以

★★★例6：如图6，AA∥，求。

思路：本题对、、的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关，也就是说，不管、、的大小如何，答案应是确定的，我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即

猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明。①式给我们一种启发，能不能将一分为二使其每一部分分别等于与。这就引发我们过点作的平行线，它将一分为二。

证明:过引∥，它将分成两个角：，如图7，

因为∥，所以∥，从而

所以，

即。

说明：从证题的过程可以发现，问题的实质在于∥，它与连接，两点之间的折线段的数目无关。如图8所示，

连接、之间的折线段增加到4条：，，，，仍然有

，即

进一步可以推广为

这时，连结，之间的折线段共有n段，，…，。（当然，仍需保持∥）。

★★★★例7 求证三角形的内角和等于。

思路：首先平行线被第三条直线所截，能提供同旁内角之和等于，如图9

，

这与

的目标差别是：还没有出现三角形，因为只是两个角之和，还不是三个角之和。

为了出现三角形，将图9中的EFA稍稍旋转，EF便与MN相交（图10）。这时

证明：由平行公理知，过A有且只有一条直线EF∥BC（图11）。又由平行线的性质知

，，

则

这个命题很容易推广。

四边形的内角和可以分析为两个三角形的内角之和（如图12）。

。

五边形的内角和可以分析为三个三角形的内角之和（如图13）。

五边形ABCDE的内角和

。

进一步可以推出n边形的内角和为

说明：

⑴运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线的常用技巧。

⑵推广是一种发展自己思考能力的方法，在解题过程中，应注意将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化。

★★★★★例8：平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？

思路：平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，若按题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，通常有两个途径：⑴多线共点，这不符合题设条件。⑵出现平行线，可行。

依第二个途径，若在某一方向上有5条直结互相平行，则可减少10个交点，若有6条直线平行，则可减少15个点，故在这个方向中最多可取5条平行线，这时还有4个交点须要减，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和一个需减去的点，只须让这两条直线在第三个方向上互相平行即可。

解如图14，这3组平行线即为所求。

说明（1）此例用到了平行线没有公共点的特性。

（2）平面上n条直线，若两两相交且无3线共点，则最多有交点个。