初中数学竞赛试题汇编

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共 6个小题，每小题5分，共30分）

在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分.

1. 从长度是2cm, 2cm, 4cm, 4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（

）

A. 丄

C. 1

D. 1

2.如图，皿是厶ABC 勺边BC 的中点，AN 平分/ BAC 于 N,且 AB=10，BC=15，MN 3，则△ ABC 的周长为（）

A. 38 B . 39 C .40 D. 41 3. 已知xy 1, 且有5x 2

2011x 9 0 , 9y 2 2011 y 5 0，则-的值等于（

)

A. 5

B . 9

C .

2011

4 .已知直角三角形的一直角边长是

4,以这个直角.?八、三角形的三

边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜疫 ----------- 线的阴影图

（第4题图）

形）的面积之和是10,那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形

（带点的阴影图形）面积之和的是（）

A. 6

B. 7 C . 8

D. 9

.设a

,b ,c >△ ABC 勺三边长，二次函数y （a b ）x 2

则厶ABC ^（）

数据e , d , c ,取出数据的顺序是c , d , e ,现在要从这两个堆栈中取出）5 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）第6题图）

cX 3 2

在X 1

时取最小值

8 -b ,

A .等腰三角形

B .锐角三角形直角、取^ 次存/数 b ;堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入

C .钝角三角形

D. 6 ?计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入

照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依据

b , a ，取出数据的顺序是a ,

、填空题（本大题共 6个小题，每小题5分，共30 分） 7?若x 2 2x 1 4 0，则满足该方程的所有根之和为

8. （人教版考生做）如图A ，在 ABCDK 过A, B, C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5,则DE 的长为 _______ .

& （北师大版考生做）如图B,等边三角形 ABC 中, D, E 分别为AB BC 边上的两个动点，且总使AD=BE AE 与 CD 交于点F , AGLCD 于点G,则匹

9. 已知a 2 a 1 0，且24

珂

2，则x .

a 3 4 5 6 2xa 2 a 3

10. 元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了 172元，则其中单价为9元的商品有

11. 如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45°，/ A =60° , CD=4m BC=（W6 2应）m,则电线杆AB 的长为 ___________

12. 实数x 与y ，使得x y , x y , xy ,-四个数中的三个有相同的数值，则所有具有

15.(本题满分20分)

对于给定的抛物线y x 2 ax b ，使

实数p , q 适合于ap 2(b q). (1)证明：

2 记A OMP 勺面积为S ,求S 关系式（0 < t < 6 ）;并求t 为何最大值？

3 试探究：当S 有最大值时，否存在点T ,使直线ONC 分

件.

这样性质的数对（x,y ）为 ____

题共 3个小题三、解答

13E

（本题满

已知： A B A

（本题满图分） 20分）如图（第将题图A = 6 , AB = 4的矩形 11OAB （放置在平面直角坐

标系中, 14. 动点M N

以每秒1个单位的速度分别从点 A, C 同时出发，其中点 M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点N 作NF L BC 交OB 于点

P,连接MP

（1）点B 的坐标为

;用含t 的式子表示点P 的坐标为

在y 轴上是割成三角积是△ ONC

20分) c)(x B G

(x 每小题20 分, E

b) (x

共 60 分)

a)是与t 的函数值时，S 有

抛物线y x2px q通过定点；

(2)证明：下列两个二次方程，x2ax b 0与x2px q 0中至少有一个方程有实数

根.

2013年全国初中数学竞赛试题

考试时间2013年3月17日9：30- 11: 30 满分150分

答题时注意：

1. 用圆珠笔或钢笔作答；

2.2.解答书写时不要超过装订线；

3. 3草稿纸不上交。

一、选择题(共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，

不填、多填或错填都得0分)

1. 设非零实数a、b、c满足a 2b 3c 0

，则

a的值为()

2a 3b 4c 0 a be

1 1

(A) -丄(B) 0 (C) 1(D) 1

2 2

2. 已知a、b、c是实常数，关于x的一元二次方程ax2 bx c 0有两个非零实根，则下列

关于x的一元二次方程ax2 bx c 0中，以厶，厶为两个实根的是( )

x-1 x2

(A) c2x2 (b2 2ac)x a2 0 ( B) c2x2 (b2 2ac)x a2 0

3,如图，在 Rt △ ABC 中，已知0是斜边AB 的中点,

垂足为D, DEL 0C 垂足为E,若AD DB CD 的长度数, 则线段 OD OE DE AC 的长度中，不一定是有者E 是有理

理数的为

CD 丄 AB,

(A) 0D (B) 0E (C) DE

(D) AC

4、如图, 已知△ ABC 的面积为24,点D 在线段AC 上，点 BC=4AF DCFE 是平行四边形，则图阴影部分

(△

BDE / A

F ADE)的面积为

B C F

在线段BC 上，且

(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 x* y

对于任意实数x , 3x 3 3x 2y 2 xy 3

45 (x 1)3 (y 1)3

2013*2012*……*3*2的值为( (A)器(B)

1821 967 (C) 二、填空题(共5小题，每小题 z ，定义运算“ 5463 (D) 967 7分，共35分) 6.设a 3 3 , b 是a 2的小数部分，则(

b 2)3的值为 z (x* y)* z

16389 967 7

.如图，点D 、E 分别是△ ABC 的边AC AB 上的点，直线 BD 与CE 交于点F ,已知△

CDF △ BFE △ BCF 的面积分别是3, 4, 5则四边形 AEFD 的面积是

.已知正整数 b 、c 满足 a b 2 2c

0 , 3a 2 8b c 0 ,贝U a b c 的最大值

9.实数 a , b , c ,

d 满足：一元二次方程 x 2

cx d 0的两根为a , b , 一元二次方

10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售

4元，圆珠笔每支售7元。幵始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，则他至少卖出了 __________ 支圆珠笔。三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11. 如图，抛物线y ax 2 bx 3，顶点为E,该

x 与轴交于A, B 两点，与y 轴交于点C,且OB=OC=3OA 1

y x 1与y 轴交于点 D,求/ DBC-Z CBE.

12. 、设△ ABC 的外心，垂心分别为 O, H,若B ，共圆，对于所有的△ ABC 求 / BAC 所有可能的度数。

13. 设 a , b , c 是素数，记 x b c a , y c a b , z a be ，当 z 2 y ，.一 x y 2 时，a , b , c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论。 14.

如果将正整数 M 放在正整数m 左

侧，所得到的新数可被 7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数），求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数

a 1 a 2 ,a n ，满足任意一个正整数

m,在a 1 a 2 ,a n 中都至少有一个为的 m 魔术数。

2013年全国初中数学联赛江西预赛试题

时间：2013年3月10日上午9: 00— 11: 30

一、选择题（每小题7分，共6题，计42分）

2 2

1、若n ，且m n 同号，则如^■如的值是（

）

2n 3m 5n

m 2mn 3n

A 、7

B 、6

C 、5

D 、4 2、若厶ABC 中, AB= 6

2 , BC=2, △ ABC 的面积是1,若/ B 是锐角，则/ ACB 的度数是（

但是他的销售收入恰好是 2013元,

抛物线 C, H, O

直线 *

）

A、30°

B、45°

C、60°

D、75°

b . a的值为（）

3、若a27a 9 0,b27b 9 0 , ab 工1,则、

\ a \ b

A B..13 .13

4、一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上如图，用橡皮盘套住往其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有套法（）

A、82

B、40 C 、22 D、21

5一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，在正整数列中，从1开始数起，问第1990个“智慧数”是（）

A 2663 B、2664 C、2665 D、2626

6能使方程mX+2（2m-1）x+4（m-3）=0至少有一个整数解的正整数a的值的个数有（）

A 3

B 、4

C 、5

D 、6

、填空题（每题7分，共4小题，计28 分）

7、如图：在厶ABC中，A吐9, BC=4,Q为AC的

中点，上一点，且/ APQ=90 +1 / B，贝U BP的长

为

8、为了迎接2016年世界杯足球赛的到来，某足球了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：P为AB边协会举办

胜一场平一场负一场

积分310

奖金（元/人）15007000

当比寒进行到12轮结束（每人均需要12轮）时，A队共积分19分，若每赛一场队员人均出场费

500元，设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W元，则W勺最大值是__________ 9、已知a、b、c、d是四个不同的实数，且（a+c）

（a+d）=-2013,（b+c）（b+d）=-2013,

则（a+d）（b+d）=-- __

10、已知。O的半径为6,四边形ABCD1圆内接四边形，交于点E,CE= 1.2，若AC是直径，且AD=BD则四边形

、解答题（70

分）对角线AC与BD ABCD的周长是

11、（满分20分）已知方程x2+ax+2a+2=0有两个整数解，求a的值

12、（满分25分）已知人丘是厶ABC的角平分线, D是线段AE上的点，且

/ BDE=90 +1/ BAC求证:D是厶ABC的内心。

13、（满分25分）如图：抛物线y=mx2+5x+n与x 交y轴与A点，过A B C三点作。P,且。P与y （1）求m n的关系；

（2）求/ BAC的正切值；

（3）设抛物线的顶点为D,试判断直线DB与。P 证明。

2012年全国初中数学竞赛预赛试题

江西省吉安市

一、选择题：（每题7分，共42分）轴交于B、C两点, 轴相切于点A,