现代设计方法复习题2

现代设计方法复习题

一、有限元部分

1 有限单元法中离散的含义是什么?

离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。

2 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么?两者有何区别?

答:单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。

整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。

单元Kij物理意义Kij即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第j个自由度方向引起的节点力。

整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。

单元刚度系数[D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。）

整体刚度矩阵有以下性质:

1. 整体刚度矩阵是对称矩阵

由单元刚度矩阵的对称性和整体刚度矩阵的组装过程，可知整体刚度矩阵必为对称矩阵。利用对称性，在计算机编写程序时，只存储整体刚度矩阵上三角或下三角部分即可。

2. 整体刚度矩阵中主对角元素总是正的

3. 整体刚度矩阵是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布

4. 整体刚度矩阵是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。

单元刚度矩阵的性质：1）对称阵 2）主对角线元素恒为正值 3）奇异阵，即|K|=0，

4）所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。

3什么是平面应力问题? 什么是平面应变问题?

（当结构的几何条件满足结构形状呈薄板型，载荷条件满足载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而板平面不受任何外力作用时，称为平面应力问题。）

平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。

m m j j i i m

m j j i i v N v N v N )y ,x (v u N u N u N )y ,x (u ++=++=平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY 平面，则只有正应变εx ，εy 和剪应变γxy ，而没有εz ，γyz ，γzx 。

平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

4. 弹性力学中的有几个主要物理量? 载荷移置的目的和任务是什么?

弹性力学中的几个主要物理量是载荷、应力、形变和位移。载荷移置的目的和任务是建立总刚度矩阵，将非节点载荷向节点载荷移植，载荷移置遵循 静力等效，即原载荷与移置产生的节点载荷在虚位移上所做的虚功相等。

5.从应用方面，有限元软件通常包含三部分：前处理部分，分析部分，后处理部分。

6.以三角形三节点单元为例说明形函数具有哪些性质？

7.有限元分析的基本思想及其求解步骤：

答：基本思想是先把一个原来是连续的物体剖分（离散）成有限个单元，而且他们相互连接在有限个节点上，承受等效的节点载荷，并根据平衡条件进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合起来，成为一个组合体，再综合求解。由于单元的个数是有限的，结点数目也是有限的，所以称为有限元法。 求解步骤：结构离散化；确定单元位移模式；单元特性分析；整体分析；输出结果分析

二、优化设计部分

1．组成优化设计数学模型的三要素：设计变量，目标函数，约束条件

2．什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？。

答：惩罚函数法是一种将有约束优化问题转化为无约束优化问题的计算方法，属于间接算法。

基本思想是用原问题的目标函数和约束函数构建一个新的目标函数，另外再引进一个可变的惩罚因子，当惩罚因子不断变化时，将得到一系列函数，求解每个新的目标函数的极值，直至收敛到原问题的最优点。当迭代的初始点和所有搜索点都在可行域内时，成为内点惩罚函数法。当系列函数极小值的逼近路径是从不可行域到原目标函数f （x ）的极小值点，成为外点惩罚函数法。

内点法：迭代初始点必须在可行域内；不能用于具有等式约束的数学模型；收敛较慢。 外点法：迭代初始点可随意选取，但需人工调整；迭代时间短，收敛快；可求解具有等式和不等式约束的问题；当问题的最优点不在边界时无法求解。

惩罚因子：内点法中，若r 0过小，则新目标函数在边界附近会出现狭窄谷地，会有跑到可行域外的危险，若r 0过大，则初始无约束最优点离边界很远，会使效率大大降低。r 0一般在1~50内选取。外点法中，初始惩罚因子R 0的选择要根据问题的不同进行估算和不断调整。

3．叙述无约束优化设计的主要方法。

间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、 （阻尼）牛顿法、变 尺度法、共轭梯度法等。

直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法 和单纯形法等。

4．叙述约束优化设计的主要方法。

1）直接法：只能求解不等式约束优化问题的最优解。其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。如：约束坐标轮换法、复合形法等。

2、间接法：该方法可以求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。其基本思想是将约束优化问题通过一定的方法进行改变，将约束优化问题转化为无约束优化问题，再采用无约束优化方法进行求解。如：消元法，惩罚函数法，乘子法，拉格朗日乘子法。

习题

5、试用黄金分割法求函数()20

f ααα=+的极小点和极小值，设搜索区间

[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）

解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式

()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--=

()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+?-=

计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。

因为()()12f f αα>。所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α， 即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。

第一次迭代：

插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=

相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，

由于()()12f f αα>，故消去所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间

[]1,b α，

则形成新的搜索区间[][][]1,6944.0,,1==b a b α。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

三、可靠性部分

1 何为可靠度？ 何为失效率？如何计算？失效率与可靠度有何关系？

可靠度(Reliability)也叫可靠性,指的是产品在规定的时间内,在规定的条件下,完成预定功能的能力,它包括结构的安全性,适用性和耐久性,当以概率来度量时,称可靠度.

失效率是指工作到某一时刻尚未失效的产品，在该时刻后，单位时间内发生失效的概率。一般记为λ，失效率定义为失效概率密度f(t)和可靠度R(t)的比值，而失效概率密度f(t)是失效概率分布F(t)的导数，失效率是由产品的可靠度决定的，成反相关关系（不能说是反比关系）。

2 可靠性分布有哪几种常用分布函数？试写出它们的表达式。

答：1）指数分布，适用于产品的随机故障率为常数时，可靠性为t dt dt t e e e t R t

t λλ---=?=?=00)()( 2）正态分布，适用于产品的性能参数，如零部件的应变、应力或零件的寿命等。

3）威布尔（Weibull ）分布，适用于对零部件的疲劳寿命和强度的描述

3 试述浴盆曲线的失效规律和失效机理？如果产品的可靠性提高，那么，浴盆曲线将有何变化？

答：浴盆曲线分为3部分，即早期失

效期、正常工作期和功能失效期。在

早期失效期产品有较高的失效率，但

是下降的很快；在正常工作期，故障

率很低且与时间变化的关系很小；在

功能失效期，由于寿命或疲劳的原因

不能发挥作用，故障率上升很快。因

为R(t)+Q(t)=1，如果产品可靠性提

高，则失效率即降低，浴盆曲线将向

下平移。

4 可靠性设计与常规静强度设计有何不同？可靠性设计的出发点是什么？

可靠性设计的特点:对于那些荷载和抗力随时间变化不大的结构来说,实践证明,常规静强度设计是行之有效的。事实上,载荷作用时间、幅值的大小经常是随时间在变化;结构的抗力则不仅随着时间变化,而且还随着材料的冶炼工艺,热处理规范加工条件等在变化,即荷载和抗力以至构体的几何参数都是随机变量,有一定分散性。特别是随着现代科技的发展,产品日益高参数化和复杂化,设计参数大都是随机变量,一部分原来按静强度设计的结构(或零部件)在

使用中暴露出一些问题: 或因强度不足而断裂,或因寿命不足而失效。要解决这些问题的方法之一是对设计参量经过数理统计并得到其概率分布,再根据强度理论推导出零部件和结构不产生破坏的概率公式,应用这些公式就可以在给定的可靠度下确定零部件(或结构)的尺寸,或已知尺寸确定安全寿命即可靠性设计。

在可靠性设计中,随机变量是服从 正态分布或经数学处理可转换成正态分布。可靠性是一个产品在给定的功能和设计条件下不失效的概率。

5.什么是故障树分析法？其特点是什么？

答：故障树分析或失效树分析是一种系统可靠性和安全性的分析工具，故障树用事件和逻辑符号来描述系统各事件之间的因果关系。特点：故障树分析可以分为定性分析和定量分析。定性分析的目的是找出导致发生不可预测事件的原因，而定量分析可以得到顶事件或所有中间事件的失效概率。在系统可靠性设计中，故障树有助于查明潜在的故障从而改善产品的设计。

6.建立故障树的过程如何？建树时应注意什么问题？

答：建立故障树步骤为：1）定义顶事件（即系统中最不希望发生的事件）。2）把顶事件作为输出事件，把所有的直接原因作为输入事件，然后根据他们的逻辑关系连接所有的事件。

3）分析上述的输入事件，若他们是有别的原因所致，就将其作为下级别的输出时间，而那些原因则作为相应的输入事件。4）重复上面的步骤，直到所有的底事件都被找出。

7.比较二个相同部件组成的系统在任务时间24小时的可靠性，已知部件的/.010=λ小时

①并联系统.

②串联系统.

解：单个部件在任务时间24小时的可靠性：

786602424010.)(.===?--e e R t λ

① 并联系统：954407866011241124221.).())(()(=--=--=R R

② 串联系统：61870786602424222..)()(===R R

6某机械零件承受的应力为服从正态分布的随机变量，其均值为196MPa ，标准差为29．4MPa ，该零件的强度也服从正态分布，其均值为392MPa ，标准偏差为39.2MPa ，求该零件的可靠度。