2019—2020高二期末统考数学试卷及答案(理科)

)

x 2019—2020学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷（理科）

本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分） 注意事项：

1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是

A ．[0,5]

B ．[5,)+∞

C ．(,0]-∞

D ．(,0][5,)-∞+∞U

2．已知一个数列的前四项为2222

1357

,,,24816--

，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)n

n n -- B ．12

21(1)

(2)n n n --- C ．221(1)2n

n n -- D ．1221(1)

2n n

n --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为 A ．3

5

B ．45

C ．34

D ．

1625

4．函数f(x)的导函数'()f x 的图象如右图所示，则下列说法正确的是

A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增

B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减

C ．函数()f x 在3x =处取极大值

D ．函数()f x 在4x =处取极小值

5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =

A ．182

B ．242

C ．273

D ．484

6．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的

倾斜角为α，则坡度值tan α等于 A ．231 B ．5

16 C ．

231 D ．11

5

7．已知0,0a b >>，且1a b +=，则11

ab a b

++的最小值是

A ．2

B ．22

C ．17

4

D ．8

8．已知p ：函数2

()1f x x mx =++有两个零点， q ：x R ?∈，244(2)10x m x +-+>．若

p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围为

A ．(,2)[3,)-∞-+∞U

B ．(,2)(1,2][3,)-∞-+∞U U

C ．(1,2][3,)+∞U

D ．(,2)(1,2]-∞-U

第II 卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上） 9．等差数列8，5，2，…的第30项是 .

10．经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 .

11．当x y 、满足不等式组11y x

y x y ≤??

≥-??+≤?

时，目标函数2t x y =+的最小值是 .

12．圆222()()x a y b r -+-=经过原点的一个充要条件是 .

13．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则这个正三

角形的边长为 .

14．物体沿直线运动过程中，位移s 与时间t 的关系式是2()3s t t t =+. 我们计算在t

时刻的附近区间[,]t t t +?内的平均速度()()

s t t s t v t

+?-=

=? ，

当t ?趋近于0时，平均速度v 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t 时刻的瞬时速度为 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

15．（13分）等比数列{}n a 的公比为q ，第8项是第2项与第5项的等差中项. （1）求公比q ；

（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，判断396,,S S S 是否成等差数列，并说明理由.

16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为2

1125801800

p x x =+

-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；

（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？

17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一

次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .

（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45o 和30o ，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.

18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中

,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．

（1）试用,,AD AP AB u u u r u u u r u u u r 表示BE u u u r

，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系；

（2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．

19．（14分）已知函数3221

()(2)3

f x x ax a a x =-++，a R ∈.

（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；

（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．

20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4

π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.

（1）求直线AB 的方程；

（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值.

参考公式：()()()22222

24A A B B A B A B A B x y x y x x x x p x x p ??++=+++??

2019—2020学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）答案

一、选择题：DDAB DA C B

二、填空题：9. －79； 10. 22

188

y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；

13. 3 14. 613t t ++?，61t +.

三、解答题：

15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）

由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）

解得3

1q =或3

1

2

q =-. 所以1q =或3

4q =. ……（6分）

（2）当1q =时，3191613,9,6S a S a S a ===.

易知396,,S S S 不能构成等差数列. ……（8分）

当3

4q =即3

12

q =-时，31113(1)13(1)11221a q a a S q q q -=

=+=---g ， 931119(1)19[1()]11281a q a a S q q q -==--=---g ，621116(1)13[1()]11241a q a a

S q q q

-=

=--=---g .（11分）

z

y

易知3692S S S +=，所以396,,S S S 能构成等差数列. ……（13分）

16.解：（1）232

1111()(25)(1004)21100801800180080

L x px C x x x x x x x =-=+

--+=-++-， 其中0150x <≤. ……（4分） （2）221111

'()21(1512600)(120)(105)60040600600

L x x x x x x x =-

++=---=--+.…（6分）

令'()0L x =，解得120x = （105x =-舍）. ……（7分）

当(0,120)x ∈时，'()0L x >；当(120,150]x ∈时，'()0L x <. ……（9分） 因此，当120x =时，()L x 取最大值. …（10分）

所以，月产量为120台时，月利润()L x 最大，最大月利润为(120)1640L =万元.…（13分）

17. 解：（1）在Rt ACP ?中，

tan PC

CAP AC

=∠， 则800tan45800PC =??=. ……（3分） 在Rt ACQ ?中，

tan QC

CAQ AC

=∠， 则800tan 608003QC =??=……（5分） 所以，8003800PQ QC PC =-=（m ）. ……（6分）

（2）在APQ ?中，600PQ =，30AQP ∠=?，453015PAQ ∠=?-?=?. ……（7分） 根据正弦定理，得600

sin30sin15PA =

??

， ……（9分） 则600sin30600sin30300(62)sin(4530)sin 45cos30cos45sin3062PA ??

=

==?-???-??

-g g .…（13分）

18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，

(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,

(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2

b

E a a . ……（2分）

（1）(0,,)2

b

BE a =u u u r

，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==u u u r u u u r

，

所以1122

BE AD AP =+u u u r u u u r u u u r

， ……（5分）

BE ?平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）

（2）BE ⊥Q 平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ?=u u u r u u u r

.

(2,2,)PC a a b =-u u u r ，22

202

b BE PC a ∴?=-=u u u r u u u r ，即2b a =. ……（10分）

(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=u u u r u u u r

， ……（11分）

2cos ,

PD BC <=

u u u r u u u r ，

所以异面直线PD 与BC . ……（14分）

19. 解：（1）当2a =-时，321()23

f x x x =+. ……（1分） 求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）

列表如下： ……（6分）

所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是73

，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分）

联立方程组2222,

2 3.

y x ax a a y x ?=-++?=+? ……（9分）

得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）

设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ?<，即()()2223230,a a a a +-?--< ……（12分）

解得 31a -<<-或13a <<. ……（14分）

20.解：（1）焦点(,0)2p

F ，过抛物线焦点且倾斜角为4

π的直线方程是2p y x =-. …（3

分）

（2）由222

y px

p y x ?=??=-?

?22

304p x px ?-+

=23,4A B A B p x x p x x ?+==4A B AB x x p p ?=++=. ……（8分） （3）

2

2

2

22

2222cos 2AO BO AB

x y x y x x y y AOB AO BO

+-+++----∠

=

=

()

2

2A B A B p p x x x x -++

=

=

=……（12分） ∴AOB ∠的大小是与p 无关的定值. ……（13分）

1题：教材《必修⑤》 P76 预备题 改编，考查一元二次不等式求解. 2题：教材《必修⑤》 P67 2（2）改编，考查写数列通项公式. 3题：教材《选修1-1》 P40 例4 改编，考查椭圆几何性质.

4题：教材《选修1-1》 P98 第4题改编，考查利用导数研究函数性质. 5题：教材《必修⑤》 P44 例2改编，考查等差数列性质及前n 项和 6题：教材《必修⑤》 P16 习题改编，考查利用余弦定理解三角形 9题：教材《必修⑤》 P38 例1（1）改编，考查等差数列通项公式 10题：教材《选修1-1》 P54 A 组第6题改编，考查双曲线方程与性质 11题：教材《必修⑤》 P91 第1(1)题改编，考查线性规划问题 12题：教材《选修1-1》 P12 第4题改编，考查充要条件.

13题：教材《选修1-1》 P64 B 组第2题改编，考查抛物线方程及性质 14题：教材《选修1-1》 P74 导数概念的预备题 改编，考查导数概念

15题：教材《必修⑤》 P61 第6题 改编，考查等差数列、等比数列的通项与前n

项和.

16题：教材《选修1-1》 P104 第6题改编，考查导数的应用. 17题：教材《必修⑤》 P19 第4题改编，考查解三角形.