传感器原理及工程应用_第三版_郁有文

《传感器原理及工程应用》习题答案

第1章传感与检测技术的理论基础（P26）

1－3 用测量范围为－50～150kPa的压力传感器测量140kPa的压力时，传感器测得示值为142kPa，求该示值的绝对误差、实际相对误差、标称相对误差和引用误差。

解：

已知：真值L＝140kPa

测量值x＝142kPa

测量上限＝150kPa

测量下限＝－50kPa

∴绝对误差Δ＝x-L=142-140=2(kPa)

实际相对误差

标称相对误差

引用误差

1－10 对某节流元件（孔板）开孔直径d20的尺寸进行了15次测量，测量数据如下（单位：mm）：

120.42 120.43 120.40 120.42 120.43 120.39 120.30 120.40

120.43 120.41 120.43 120.42 120.39 120.39 120.40

试用格拉布斯准则判断上述数据是否含有粗大误差，并写出其测量结果。

解：

对测量数据列表如下：

序

测量值残余误差残余误差

号

1 120.4

2 0.016 0.009

2 120.4

3 0.026 0.019

3 120.40 －0.00

4 －0.011

4 120.42 0.016 0.009

5 120.43 0.02

6 0.019

6 120.39 －0.014 －0.021 7120.30－0.104―――

8 120.40 －0.004 －0.011

9 120.43 0.026 0.019

10 120.41 0.006 －0.001

11 120.43 0.026 0.019

12 120.42 0.016 0.009

13 120.39 －0.014 －0.021

14 120.39 －0.014 －0.021

15 120.40 －0.004 －0.011

当n＝15时，若取置信概率P＝0.95，查表可得格拉布斯系数G＝2.41。

则

，

所以为粗大误差数据，应当剔除。然后重新计算平均值和标准偏差。

当n＝14时，若取置信概率P＝0.95，查表可得格拉布斯系数G＝2.37。

则，所以其他14个测量值中没有坏值。

计算算术平均值的标准偏差

所以，测量结果为：

1－14 交流电路的电抗数值方程为

当角频率，测得电抗为；

当角频率，测得电抗为；

当角频率，测得电抗为。

试用最小二乘法求电感、电容的值。

解法1：

，设，，则：

所以，系数矩阵为，直接测得值矩阵为，最小二乘法的最佳估计值矩阵为。

其中，

所以，

所以＝

所以，

解法2：

，设，，则：

所以，系数矩阵为，则，由（1－39）式决定的正规方程为

其中，

所以，

所以，

所以，

第2章传感器概述（P38）

2－5当被测介质温度为t1，测温传感器示值温度为t2时，有下列方程式成立：

。

当被测介质温度从25℃突然变化到300℃时，测温传感器的时间常数，试确定经过300s后的动态误差。

已知：，，

求：t=350s时，

解：

灵敏度k=1时，一阶传感器的单位阶跃响应为。

类似地，该测温传感器的瞬态响应函数可表示为：

。

当时，

。

所以，动态误差。

解：

一阶传感器的幅频特性为：

因为幅值误差限制在±5％以内，即

当时，有。

若用此传感器测量的信号，其幅值误差为：

相位误差为：

已知，，。

求：传感器的工作频率范围。

解：

二阶传感器的幅频特性为：。

当时，，无幅值误差。当时，一般不等于1，即出现幅值误差。

若要求传感器的幅值误差不大于3％，应满足。

解方程，得；

解方程，得，。

题3－6图

由于，根据二阶传感器的特性曲线可知，上面三个解确定了两个频段，即0

～和～。前者在特征曲线的谐振峰左侧，后者在特征曲线的谐振峰右侧。对于后者，尽管在该频段内也有幅值误差不大于3％，但是该频段的相频特性很差

而通常不被采用。所以，只有0～频段为有用频段。由

可得，即工作频率范围为0～。第3章应变式传感器（P60）

*3－6 题3－6图为等强度悬臂梁测力系统，

为电阻应变片，应变片灵敏系数K＝2.05，未受

应变时，。当试件受力F时，应变片

承受平均应变，试求：

1 应变片电阻变化量和电阻相对变化量。

2 将电阻应变片置于单臂测量电桥，电桥电源电压为直流3V，求电桥输

出电压及电桥非线性误差。

3 若要减小非线性误差，应采取何种措施？分析其电桥输出电压及非线性

误差大小。

已知：K＝2.05，，，

求：，，，

解：

①应变片的电阻相对变化量为

电阻变化量为

②设电桥的倍率n＝1，则电桥的输出电压为

R1

电桥的非线性误差为

③若要减小非线性误差，可以采用差动电桥电路（半桥差动电路或者全桥差动电路）。此时可以消除非线性误差，而且可以提高电桥电压的灵敏度，同时还具有温度补偿作用。

（a）如果采用半桥差动电路，需要在等强度梁的上下两个位置安装两个工作应变片，一个受拉应变，一个受压应变，接入电桥的相邻桥臂，构成半桥差动电路。此时电桥的输出电压为

，是单臂工作时的两倍。

（b）如果采用全桥差动电路，需要在等强度梁的上下四个位置安装四个工作应变片，两个受拉应变，两个受压应变，将两个应变符号相同的接入相对桥臂上，构成全桥差动电路。此时电桥的输出电压为

，是单臂工作时的四倍。

*3－7 在题3－6条件下，如果试件材质为合金钢，线膨胀系数，电阻应变片敏感栅材质为康铜，其电阻温度系数

，线膨胀系数。当传感器的环境温度从10℃变化到50℃时，所引起的附加电阻相对变化量（）为多少？折合成附加应变为多少？

解：

已知：试件合金钢的线膨胀系数，电阻应变片的灵敏系数为K0＝2.05，电阻温度系数，线膨胀系数，

，

则由温度变化引起的附加电阻相对变化为：

。

折合成附加应变为。

3－8 一个量程为10kN的应变式测力传感器，其弹性元件为薄壁圆筒轴向受力，外径为20mm，内径为18mm，在其表面粘贴八个应变片，四个沿轴向粘贴，四个沿周向粘贴，应变片的电阻值均为120Ω，灵敏度为 2.0，泊松比为0.3，材料弹性模量。要求：

1 绘出弹性元件贴片位置及全桥电路；

2 计算传感器在满量程时各应变片的电阻；

3 当桥路的供电电压为10V时，计算电桥负载开路时的输出。

解：

已知：F＝10kN，外径，内径，R＝120Ω，K＝2.0，，，Ui＝10V。

圆筒的横截面积为

弹性元件贴片位置及全桥电路如图所示。

应变片1、2、3、4感受轴向应变：

应变片5、6、7、8感受周向应变：

满量程时，

电桥的输出为：

第4章电感式传感器（P84）

*4－7 已知一差动整流电桥电路如题4－7图所示。电路由差动电感传感器Z1、Z2及平衡电阻R 1、R2（R1=R2）组成。桥路的一个对角接有交流电源，另一个对角线为输出端，试分析该电路的工作原理。

解：

忽略R3 、R4的影响，可知U0 ＝ UCD = UD－UC 。

若电源电压上端为正、下端为负时，VD1 、VD3 导通，等效电路如图（a）所示。

当差动电感传感器Z1 ＝Z＋Z，Z2 ＝Z－Z时，UC > UD，U0 为负。

当差动电感传感器Z1 ＝Z－Z，Z2 ＝Z＋Z时，UC < UD，U0 为正。

若电源电压上端为负、下端为正时，VD2 、VD4 导通，等效电路如图（b）所示。

当差动电感传感器Z1 ＝Z＋Z，Z2 ＝Z－Z时，UC > UD，U0 为负。

当差动电感传感器Z1 ＝Z－Z，Z2 ＝Z＋Z时，UC < UD，U0 为正。

因此，无论电源电压的正负如何，输出电压U0 的大小反映Z的大小，U0 的正负极性反映Z的正负情况（例如衔铁的移动方向）。

题4－7图

图（a）

图（b）

*4－8 已知变隙式电感传感器的铁芯截面积A＝1.5cm2，磁路长度L＝20cm，相对磁导率，气隙，，真空磁导率，线圈匝数，求单端式传感器的灵敏度。若将其做成差动结构形式，灵敏度将如何变化？

解：

已知：A0＝1.5cm2，，。

单端式传感器的灵敏度为

若将其做成差动结构形式，则灵敏度为单线圈式的两倍，且线性度也会得到明显改善。

第5章电容式传感器（P99）

5－3 图5—7为电容式液位计测量原理图。请为该测量装置设计匹配的测量电路，要求输出电压与液位h之间呈线性关系。

图5-7 电容式液位变换器结构原理图

解：

电容式液位计的电容值为：，其中。

可见C与液面高度h呈线性关系。

可以看出，该结构不宜做成差动形式，所以不宜采用二极管双T形交流电桥，也不宜采用脉冲宽度调制电路。另外要求输出电压与液位h之间呈线性关系，所以不宜采用调频电路和运算放大器式电路。

V

可以采用环形二极管充放电法，具体电路如图所示。可将直流电流表改为直流电压表与负载电阻R的并联，R上的电压为，则有：

其中，C x为电容式液位计的

电容值，f为方波的频率，

ΔE=E2-E1为方波的幅值，

Cd为平衡电容传感器初始电

容的调零电容。当h=0时调

节，则输出

电压与液位h之间呈线性

关系。

UL

5－5 题5—5图为电容式传感器的双T电桥测量电路，已知，，，，，，。求

的表达式及对于上述已知参数的值。

解：

5－8 题5—8图为二极管环形电桥检波测量电路，为恒压信号源，和是差动式电容传感器，是固定电容，其值，，设二极管正向电阻为零，反向电阻为无穷大，信号输出经低通滤波器取出直流信号。要求：

1 分析检波电路测量原理；

2 求桥路输出信号的表达式；

3

题5—8图

画出桥路中、、在、、三种情况下的波形图（提示：画出正负半周的等效电路图，并标出工作电流即可求出的表达式）。解：

等效电路为：

－

当Up为正半周时，D1、D3导通，等效电路如图（a）所示。

当Up为负半周时，D2、D4导通，等效电路如图（b）所示。

电容、和的阻抗分别为：，，。

则，。

∵

∴

当时，，，；

当时，，，所以；

当时，，，所以。波形如图所示。

Up

UA

eAB

eAB

第6章压电式传感器

1、一只x切型的石英晶体压电元件，其，相对介电常数

，横截面积，厚度。求：

（1）纵向受的压力作用时压电片两电极间输出电压值为多大？

（2）若此元件与高输入阻抗运放连接时连接电缆的电容为，该压电元件的输出电压值为多大？

解：

（1）所谓纵向受力，是指作用力沿石英晶体的电轴方向（即x轴方向）。对于x 切型的石英晶体压电元件，纵向受力时，在x方向产生的电荷量为：

压电元件的电容量为：

所以两电极间的输出电压值为

（2）此元件与高输入阻抗运放连接时，连接电缆的电容与压电元件本身的电容相并联，输出电压将改变为：

2、（选作）一只石英晶体压电式传感器的面积，厚度d=1mm，固定在两块金属板之间，用来测量作用在晶体两表面上的力的变化。已知石英的弹性模量，相对介电常数，传感器的电荷灵敏度，电阻。另有一个的电容和一个的电阻与极板并联。所加外力。试求：

（1）两极板间电压的峰－峰值；

（2）晶体厚度的最大变化。

解：

（1）石英晶体受力最大时，产生的电荷量最多。受力方向改变时，电荷符号也随之改变。受正弦力作用时，电荷量也按照正弦规律变化。根据题意，可知所加外力的幅值为，因此，无负载时输出的电荷量的幅值为：

传感器的电容量为：

则无负载时输出电压的幅值

为

则无负载时两极板间电压的峰－峰值为：

接负载时，实际输出电压与理想输出电压之比的相对幅频特性为

式中，为所加外力的角频率；为电路的时间常数，其中，为与的等效电阻，为与的等效电容，即

故

所以有负载时两极板间电压的峰－峰值为：

（2）当所受外力为最大压力时，厚度减小量最大；当所受外力为最大拉力时，厚度增加量最大。所以厚度的最大变化量为

可见厚度的改变量非常小。

第7章磁电式传感器

1、某霍尔元件尺寸为l=10mm，b=3.5mm，d=1.0mm，沿l方向通以电流

I=1.0mA，在垂直于l和b的方向上加有均匀磁场B＝0.3T，灵敏度为22V/(A·T)，试求输出的霍尔电势以及载流子浓度。

解：

输出的霍尔电势为：

由

可得载流子浓度为：

第8章光电式传感器

8－8当光纤的，，如光纤外部介质的，求光在光纤内产生全反射时入射光的最大入射角。

解：

最大入射角

2、若某光栅的栅线密度为50线/mm，标尺光栅与指示光栅之间的夹角为0.01rad。求：所形成的莫尔条纹的间距。

解：

光栅栅距为

标尺光栅与指示光栅之间的夹角为

莫尔条纹的间距为

3、利用一个六位循环码码盘测量角位移，其最小分辨率是多少？如果要求每个最小分辨率对应的码盘圆弧长度最大为0.01mm，则码盘半径应有多大？若码盘输出数码为“101101”，初始位置对应数码为“110100”，则码盘实际转过的角度是多少？

解：

六位循环码码盘测量角位移的最小分辨率为：。

码盘半径应为：

循环码101101的二进制码为110110，十进制数为54；

循环码110100的二进制码为100111，十进制数为39。

t0

码盘实际转过的角度为：。

第13章传感器在工程检测中的应用

P275 15－8 用两只K型热电偶测量两

点温差，其连接线路如图所示。已知

t1=420℃，t0=30℃，测得两点的温差电势

为15.24mV，试问两点的温差为多少？后来

发现，t1温度下的那只热电偶错用E型热

电偶，其它都正确，试求两点实际温度差。

解：

t1=420℃，t0=30℃。若为K型热电偶，查表（15－5）可知：

所以

因为

所以

所以

查表可得

所以，两点的温差为

若t1温度下用的是E型热电偶，则需查表（15－6）。t1=420℃，t0=30℃，则有

所以.

因为

所以

查表（15－5）可知：

所以

查表（15－5）可知：

所以，两点的实际温差为

P276 15－19有一台电动差压变送器配标准孔板测量流量，差压变送器的量程为16kPa，输出为4～20mA，对应的流量为0～50t/h，工艺要求在40 t/h时报警，试问：

（1）差压变送器不带开方器时，报警值设定在多少毫安？

（2）带开方器时，报警值又设定在多少毫安？

解：

流体的体积或质量流量与被测流体流过标准节流装置前后产生的压力差的平方根成正比。差压变送器是一个把差压信号转换成电流信号的装置。

(1)如果不使用开方运算电路或加开方器，差压计所显示的电流值与压差成正比，与被测流量不呈线性关系，即：被测流量与显示的电流值的平方根成正比，即

由此可得：

流量为40 t/h时的电流信号为：

(2)如果带开方器，则差压计所显示的电流值与压差的平方根成正比，与被测流量呈线性关系，即

由此可得：

流量为40 t/h时的电流信号为：