2014成都零诊(理科数学)含答案

四川省成都市2015届高三摸底（零诊）

数学（理）试题

本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟． 注意事项

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用椽皮撵擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共50分）

一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1） 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（U eS ）T 等于

（A ）{2，4} （B ）{4}

（C ）?

（D ）{1,3,4}

3．已知命题p ：x ?∈R ，2x

=5，则?p 为 （A ）x ??R,2x

=5 （B ）x ?∈R,2x

≠5 （C ）0x ?∈R ，2

0x =5

（D ）0x ?∈R ，20

x ≠5

4．计算21og 63 +log 64的结果是 （A ）log 62 （B ）2

（C ）log 63

（D ）3

5．已知实数x ，y 满足0

02x y x y ≥??

≥??+≤?

，则z=4x+y 的最大值为

（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是 （A ）若a ∥b ．b α?，则a//α （B ）若a//α，b α?，则a ∥b （C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α

7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下

PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m 3）则下列说法正确的是 （A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等

（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等

8．已知函数f （x ）

cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间

的距离等于x ，则f （x ）的单调递减区间是 （A ）2,6

3k k π

πππ??

+

+

???

?,k ∈z （B ）,3

6k k π

πππ?

?

-

+

???

?

,k ∈z

（C ）42,23

3k k π

πππ?

?

+

+

???

?

,k ∈z （D ）52,212

12k k π

πππ??

-

+

???

?

,k ∈z 9．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），且当x ∈(]1,3-时，f （x ）

=(]2,(1,1)

1cos ,1,32

x x x x π

?∈-??+∈??则g （x ）=f （x ）－|1gx|的零点个数是 （A ）7

（B ）8

（C ）9

（D ）10

10．如图，已知椭圆C l ：211

x +y 2=1，双曲线C 2：22

22x y a b -=1（a>0，b>0），若以C 1的长轴为

直径的圆与C 2的一条渐近线相交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两

交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 （A ）5 （B

（C

（D

）

7

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。 11．已知a ∈40,

,cos 25πα??

= ?

??

，则sin()πα-= 。 12．当x>1时，函数y=x+

1

1

x -的最小值是____ 。 13．如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是 。

14．运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是____ 。

15．已知直线y=k 14x ?

?

+

???

与曲线y =恰有两个不同交点，

记k 的所有可能取值构成集合A ；P （x ，y ）是椭圆

22

169

x y +=l 上一动点，点P 1（x 1，y 1）与点P 关于直线y=x+l 对称，记

11

4

y -的所有可能取值构成集台B 若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是____ 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤。 16．（本小题满分12分）

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=3，S 7=49，n ∈N *。 （I ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设1

2(1)2n n a b n

-+?=，求数列{b n }的前n 项和T n ．

17．（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知向量m=（a －b ，c －a ），n=（a+b ，c ）

且m ·n=0。

（I ）球角B 的大小； （Ⅱ）求函数f （A ）=sin 6A π??

+ ??

?

的值域。

某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如下表：

（I）已知该地区共有高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？

（Ⅱ）在A，B．C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率。

19．（本小题满分12分）

如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平

面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点。

（I）求证：BC⊥平面VAC；

（Ⅱ）若AC=l，求二面角M－V A－C的余弦值。

在平面直角坐标系x Oy 中，点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，PD ⊥x 轴于点D ，记满足

1

()2

OM OP OD =

+的动点M 的轨迹为F 。 （I ）求轨迹F 的方程；

（Ⅱ）已知直线l ：y=kx+m 与轨迹F 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点,射线OG

交轨迹F 于点Q ，且,OQ OG λλ=∈R 。

①证明：λ2m 2=4k 2+1；

②求△AOB 的面积S （λ）的解析式，并计算S （λ）的最大值。 21．（本小题满分14分， 巳知函数f （x ）=x1nx ，g （x ）=

13

ax 2

－bx ，其中a ，b ∈R 。 （I ）求函数f （x ）的最小值；

（Ⅱ）当a>0，且a 为常数时，若函数h （x ）=x[g （x ）+1]对任意的x 1>x 2≥4，总有

1212

(0()

0h x h x x x ->-成立，试用a 表示出b 的取值范围；

（Ⅲ）当b=23-a 时，若f （x+1）≤3

2

g （x ）对x ∈[0，+∞）恒成立，求a 的最小值。