2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列{}n a

中，2a =

，3a =12011

72017

a a a a ++的值为 .

2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .

3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2

()f x x +是奇函数，()2x

f x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .

5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 .

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .

7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2

2

2

0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .

8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .

二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.设不等式|2||52|x

x

a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.

10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足2

12n n n n b a a a ++=-，1,2,

n =.

（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；

（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.

11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2

1:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾

斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ?的取值范围.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）

一、（本题满分40分）

设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-

二、（本题满分40分）

给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每

个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.

三、（本题满分50分）

如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点

,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .

四、（本题满分50分）

设1220,,

,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,

,10}b b b ∈，集合

{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.

一试试卷答案

1.答案：

89

解：数列{}n a

的公比为32a q a ==

，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.

解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得

9101022

a a

b b +=??

=-+?，解得：1,2a b ==，故12z i =+

，进而||z =3.答案：74

-

解：由条件知，2

(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2

f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-

，即7(1)4

f =-. 4.

答案：4

-

解：由正弦定理知，

sin 2sin a A c C

==，又2b ac =

，于是::2:a b c =

，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===. 5.

答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，

7AD AB AE BE ==+=.

由余弦定理得，DE

==，

同理有DF =作等腰DEF ?底边EF 上的高DH ，则1

22

EH EF

==，故DH == 于是1

2332

DEF S EF DH ?=

=

6.答案：

514

解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3

984C =种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2）三点是边长为2的等腰直角三角形的顶点，有4416?=种情况，

（32,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为

3058414

=. 7.答案：

117

2

解：二次曲线方程可写成22

21x y a a

--

=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2222

1()()

x a a =--，则2222)()c a a a a =-+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以117

a -=

. 8.答案：574 解：由条件知2017

[

]21000

c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为

20

10

(1022)11

(20210)5722

b b =+?-=

=∑，

当2c =时，由201720[

]100b ≤≤，知，20b =，进而2017

200[]20110

a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a

b

c .

综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.

9.解：设2x

t =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于

22|||5|()(5)t a t t a t -<-?-<-，(25)(5)0t a a ?---<，

对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因

此()0f t <等价于(2)(1)(5)0

(4)(3)(5)0f a a f a a =---

=--

，解得35a <<

所以实数a 的取值范围是35a <<.

10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22

123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---

23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+221(2)3n n n a a a d d ++=--=

所以数列{}n b 也是等差数列.

（2）由已知条件及（1）的结果知：2

3d d =，因为0d ≠，故1

3

d =

，这样2212()(2)n n n n n n n b a a a a d a d a ++=-=++-

22

329

n n da d a =+=+

若正整数,s t 满足s t a b Z +∈，则1122(1)(1)99

s t s t a b a b a s d a t d +=++

=+-++-+ 122

239s t a Z +-=+

+∈. 记122

239

s t l a +-=++，则l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从而

11||18

a ≥.

又当1118a =时，有13117

11818

a b Z +=+=∈，

综上所述，1||a 的最小值为1

18.

11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为2

2y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，2

22

(4)(2)8x x t t -++-=，

化简可得：2222

22(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，

由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式?为正，计算得，

222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164

t t t t t t t t t t ?

=-+--+=---+---

222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-，

因此有(2,0)

(2,4)t ∈-，②

设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由①知，2

1224x x t t +=-+，2

2121((2)8)2

x x t t =

-+， 因此，结合l 的倾斜角为45可知，

2224121212||||2()2()22()2PQ PR x t x t x x t x x t =--=-++

22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++

43243244482482t t t t t t t =-++-+-+ 4248t t =-+ 22(2)4t =-+，③

由②可知，2

2(2,2)

(2,14)t -∈-，故22(2)[0,4)(4,196)t -∈，从而由③得：

22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈

注1：利用

2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2

|< 同样可以求得②中t 的范围.

注2：更简便的计算||||PQ PR 的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =

故22222242

||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+.

加试试卷答案

一、

证明：当1d ≥时，不等式显然成立

以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有

(1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥->

因此2

2

2

(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥-

二、

证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+

设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+，

故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=

三、

证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY

XC YB

=

连接,BD CD ，因为

ACQ ACQ

ABC ABC ABP ABP

S S S S S S ???????=

， 所以111sin sin sin 222

111sin sin sin 222

AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ

AC AP BP

?=

? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，

于是1

sin 21sin 2ABQ ACP AB AQ BAQ S AB AQ S AC AP

AC AP CAP ???∠?==

??∠ ③ 而1

sin 21sin 2

BCQ BCP

BC CQ BCQ S CQ S BP BC BP CBP ???∠==

?∠ ④

由②，③，④得

ABQ CBQ ACP

BCP

S S S S ????=

，

即

ABQ ACP

CBQ BCP

S S S S ????=

又

ABQ CBQ

S AX S XC ??=

，ACP BCP

S AY

S YB ??= 故

AX AY XC YB

=

设边BC 的中点为M ，因为

1AX CM BY

XC MB YA

??=， 所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY

四、

解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b

对1,2,

,5k =，设120,,a a 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ?，因此至

少有

5

21k

t k C

=∑个(,)i j 不在X 中，注意到

5

1

20k

k t

==∑，则柯西不等式，我们有

5

5555

222

11111111120()(())20(1)3022525k

t k k k k k k k k k C t t t t ======?-≥?-=??-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2

203019030160C -=-=

另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k =）

，6i i b a =-（1,2,,20i =）

， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有2

()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤

等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生2

4530C =次，此时X 的元素个数达到22030160C -=

综上所述，X 的元素个数的最大值为160.